无窗FIR滤波器差分方程设计：阻带20-40Hz，参数Df=0.3、Dt=2mSec

1. 基础参数计算 #

• 采样频率：Fs = 1/Dt = 1/0.002 = 500 Hz
• 频谱分辨率要求Df=0.3Hz，滤波器长度M满足Df=Fs/M，因此M=Fs/Df≈1666.67，取最近的奇数M=1667，此时半长度N=(M-1)/2=833
• 阻带边界角频率：
  • 下边界：ω1 = 2πf1/Fs = 2π×20/500 = 0.08π rad/采样点
  • 上边界：ω2 = 2πf2/Fs = 2π×40/500 = 0.16π rad/采样点

2. 理想带阻滤波器的冲激响应 #

理想带阻的频域响应为：

当|ω| ≤ ω1或|ω| ≥ ω2时，H(e^jω)=1；当ω1 < |ω| < ω2时，H(e^jω)=0

通过逆离散傅里叶变换（IDTFT）得到时域冲激响应h(n)：

• 当n=0时：
  h(0) = 1 - (ω2 - ω1)/π = 1 - (0.16π - 0.08π)/π = 0.92
• 当n≠0且|n| ≤ N时：
  h(n) = [sin(ω1 n) - sin(ω2 n)]/(πn)
• 由于h(n)是实对称序列（h(n)=h(-n)），只需计算n=1~N的系数即可

3. 差分方程表达式 #

FIR滤波器的差分方程为输入x(n)与输出y(n)的线性组合，利用对称性简化：

y(n) = h(0)x(n) + Σ_{k=1}^{833} h(k)[x(n-k) + x(n+k)]

展开完整形式：

y(n) = Σ_{k=-833}^{833} h(k)x(n-k)

关键说明 #

• 这里的“无窗函数”指直接对理想无限长冲激响应进行矩形截断（仅保留n=-833~833的部分），未额外使用其他窗函数
• 由于h(n)对称，滤波器具有线性相位特性，可避免信号相位失真

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ido Sharabi