为何两种方法计算彩票中奖期望成本会得到不同结果？

每张彩票的中奖概率为0.005，可免费获得25张彩票。超出免费额度后，每张彩票需支付9.6美元。当进行到第250次抽奖时，将保证中奖（即若某人购买249张均未中奖，第250张直接中奖）。请计算中奖一次的平均成本。

方法1（最终结果：525.48） #

for i in range(26, 250):
        probability_win = (0.995 ** (i - 1)) * 0.005  # 在第i次抽奖中奖的概率
        cost_this_draw = 9.6 * (i - 25)  # 此时的总成本
        revised_total_cost += probability_win * cost_this_draw
return revised_total_cost

方法2（最终结果：1014.5） #

max_draws = 250  
free_draws = 25  
cost_per_draw = 9.6
win_probability = 0.005
cumulative_probability_not_winning = 1.0
expected_total_cost = 0.0

for draw in range(1, max_draws + 1):
    if draw > free_draws:
    # 仅在超出免费次数时添加成本
        expected_total_cost += cost_per_draw * (1 - cumulative_probability_not_winning)

    # 更新下次抽奖未中奖的累积概率
    cumulative_probability_not_winning *= (1 - win_probability)
return expected_total_cost

问题分析与解答 #

两个方法结果不同的核心原因是两者都存在逻辑错误，具体如下：

方法1的错误：遗漏第250次必中场景 #

方法1的循环仅覆盖了第26到249次中奖的情况，完全未计算「前249次都未中奖，第250次必中」的场景：

• 该场景的概率为 0.995^249
• 对应的总成本为 9.6*(250-25) = 2160 美元
• 这部分期望成本未被加入总和，导致结果偏小。

方法2的错误：成本期望逻辑完全倒置 #

方法2的核心错误在于对「第draw次彩票的期望成本」的计算逻辑错误：

• 只有当前draw-1次都未中奖时，才需要购买第draw次彩票，因此第draw次彩票的期望成本应为：成本单价 × 前draw-1次都未中奖的概率
• 但方法2中却用了 9.6*(1 - cumulative_probability_not_winning)，其中1 - cumulative_probability_not_winning是前draw-1次至少中过一次奖的概率——这部分用户根本不会购买第draw次彩票，不该计入成本，逻辑完全倒置，导致结果偏大。

正确的计算逻辑 #

正确的期望成本需覆盖所有中奖场景：

1. 第1-25次免费中奖：成本为0，期望贡献为0，可忽略。
2. 第26-249次中奖：按方法1的逻辑计算，即每次中奖的概率×对应总成本，累加这部分期望。
3. 第250次必中：加上前249次未中奖的概率×对应总成本。

修正后的代码（基于方法1补充第250次场景）：

revised_total_cost = 0.0
# 计算第26到249次中奖的期望成本
for i in range(26, 250):
    probability_win = (0.995 ** (i - 1)) * 0.005  # 第i次中奖的概率
    cost_this_draw = 9.6 * (i - 25)  # 此时的总成本
    revised_total_cost += probability_win * cost_this_draw
# 补充第250次必中的期望成本
probability_250_win = 0.995 ** 249
cost_250_draw = 9.6 * (250 - 25)
revised_total_cost += probability_250_win * cost_250_draw
print(revised_total_cost)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者meow