SymPy计算多元函数极限异常：极限不存在却返回0，求技术解答

SymPy在计算以下多元函数的极限时，错误返回了0的结果，但实际上该函数当(x, y)趋近于(0, 0)时极限并不存在。

问题代码 #

from sympy import symbols, limit

# 定义变量
x, y = symbols('x y')

# 定义函数
f = (x**2 * y) / (x**4 + y**2)   

# 计算(x, y)趋近于(0, 0)时的极限
limit_value = f.limit(x,0).limit(y,0)

print("The limit of the function as (x, y) approaches (0, 0) is:", limit_value)

运行上述代码后，输出结果为0。

问题解析 #

这段代码计算的是累次极限（先对x趋近0取极限，再对y趋近0取极限），而非(x, y)同时趋近(0, 0)的二重极限。二重极限存在的核心要求是：沿所有可能路径趋近目标点时，极限值都一致。但这个函数不满足该条件：

• 沿路径(t, t)趋近(0,0)时，极限为0
• 沿路径(t, t²)趋近(0,0)时，极限为1/2

由于不同路径得到的极限值不同，因此该函数在(x, y)趋近(0, 0)时的二重极限不存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Herman Jaramillo