Matlab中cmdscale结果与距离矩阵不符问题咨询

问题描述 #

我使用Matlab的cmdscale函数，基于一个20×20的距离均值矩阵绘制二元组的距离关系图，但生成的可视化结果与矩阵数据不匹配：部分在图中显示为距离最近的二元组（例如15和7、24和8），实际查看矩阵中的距离值时并非最近。请问此问题是否与MDS（多维尺度分析）对数据相似度或相异度的建模逻辑有关？

距离矩阵 #

Columns 1 through 8 #

0    2.9653    3.2230    2.8584    3.1432    3.2808    3.0862    2.9497
2.9653         0    3.0887    3.1811    2.6100    2.8237    2.4911    2.7203
3.2230    3.0887         0    3.5408    3.3518    2.9686    2.9160    2.8658
2.8584    3.1811    3.5408         0    2.9473    3.2303    3.3080    3.0548
3.1432    2.6100    3.3518    2.9473         0    2.6647    3.3269    3.0144
3.2808    2.8237    2.9686    3.2303    2.6647         0    3.0047    3.0691
3.0862    2.4911    2.9160    3.3080    3.3269    3.0047         0    3.0322
2.9497    2.7203    2.8658    3.0548    3.0144    3.0691    3.0322         0
3.1762    3.0108    3.3194    3.1150    3.2592    3.1145    3.1722    3.0799
3.1882    2.9232    3.0836    3.3319    3.2622    3.2148    3.0828    3.2406
2.4554    2.7071    3.0788    3.1644    2.7968    3.0855    3.0433    2.7806
3.2932    2.8705    3.1786    3.4448    3.3172    3.2933    2.8854    3.2879
3.1120    3.1188    2.6459    3.2080    3.2328    3.1568    3.1785    3.1437
3.3260    3.1060    2.6544    3.1201    3.1650    3.0548    2.8884    2.8402
3.2803    2.5523    3.2278    3.2217    2.9949    2.7493    2.7412    3.1340
3.1909    2.8943    3.3254    3.0940    3.0320    3.2344    3.3345    2.9592
3.0632    3.0596    3.2684    3.0824    3.0228    2.9901    3.2752    2.9603
2.5344    2.9183    3.2891    3.0900    3.4848    3.3236    3.1210    2.9667
2.9851    3.0473    2.9082    2.8537    2.8224    2.9758    3.4063    2.9222
2.6194    2.9375    3.0021    3.1546    3.1915    3.1921    3.2581    3.0678

Columns 9 through 16 #

3.1762    3.1882    2.4554    3.2932    3.1120    3.3260    3.2803    3.1909
3.0108    2.9232    2.7071    2.8705    3.1188    3.1060    2.5523    2.8943
3.3194    3.0836    3.0788    3.1786    2.6459    2.6544    3.2278    3.3254
3.1150    3.3319    3.1644    3.4448    3.2080    3.1201    3.2217    3.0940
3.2592    3.2622    2.7968    3.3172    3.2328    3.1650    2.9949    3.0320
3.1145    3.2148    3.0855    3.2933    3.1568    3.0548    2.7493    3.2344
3.1722    3.0828    3.0433    2.8854    3.1785    2.8884    2.7412    3.3345
3.0799    3.2406    2.7806    3.2879    3.1437    2.8402    3.1340    2.9592
     0    3.2420    3.2435    3.5123    2.9707    2.6942    3.2396    3.3114
3.2420         0    3.0433    2.9127    3.1470    3.3033    3.2497    3.1586
3.2435    3.0433         0    3.1954    3.0412    3.2604    3.0496    2.9285
3.5123    2.9127    3.1954         0    3.2678    3.2255    3.2575    3.1056
2.9707    3.1470    3.0412    3.2678         0    3.3503    3.5184    3.5914
2.6942    3.3033    3.2604    3.2255    3.3503         0    3.0475    2.7524
3.2396    3.2497    3.0496    3.2575    3.5184    3.0475         0    3.2534
3.3114    3.1586    2.9285    3.1056    3.5914    2.7524    3.2534         0
3.1723    3.3090    2.1651    3.5620    3.3848    3.1173    3.1470    2.6516
3.2338    3.0103    2.9089    3.2281    2.6424    3.0992    3.4654    3.0025
3.1500    2.9570    3.1055    3.0921    2.9609    2.9692    3.1632    3.0927
3.0246    3.2398    2.0885    3.4584    2.9437    3.3885    3.1736    3.4367

Columns 17 through 20 #

3.0632    2.5344    2.9851    2.6194
3.0596    2.9183    3.0473    2.9375
3.2684    3.2891    2.9082    3.0021
3.0824    3.0900    2.8537    3.1546
3.0228    3.4848    2.8224    3.1915
2.9901    3.3236    2.9758    3.1921
3.2752    3.1210    3.4063    3.2581
2.9603    2.9667    2.9222    3.0678
3.1723    3.2338    3.1500    3.0246
3.3090    3.0103    2.9570    3.2398
2.1651    2.9089    3.1055    2.0885
3.5620    3.2281    3.0921    3.4584
3.3848    2.6424    2.9609    2.9437
3.1173    3.0992    2.9692    3.3885
3.1470    3.4654    3.1632    3.1736
2.6516    3.0025    3.0927    3.4367
     0    2.9237    2.8699    2.8729
2.9237         0    3.1148    2.6957
2.8699    3.1148         0    3.1689
2.8729    2.6957    3.1689         0

代码实现 #

figure

[Y,eigvals] = cmdscale(mtrx_to_plot*100);
plot(Y(:,1),Y(:,2),'.','MarkerSize',20)
text(Y(:,1), Y(:,2), arrayfun(@num2str, node_labels_G, 'UniformOutput', false), 'VerticalAlignment','bottom','HorizontalAlignment','right')
xlabel('km')
ylabel('km')

生成的结果图 #

问题解答 #

核心原因：MDS的降维近似特性 #

你遇到的问题确实和MDS的建模逻辑直接相关，核心点在于：

• 经典MDS是近似降维算法：cmdscale实现的经典MDS，目标是将高维空间的距离关系尽可能保留地映射到低维（此处为2维）空间。但如果原始距离矩阵无法被完美嵌入到2维欧氏空间，必然会产生近似误差——部分点对的二维空间距离与原始矩阵的距离无法完全匹配，甚至出现局部顺序颠倒的情况。
• 均值距离矩阵的潜在问题：你的矩阵是多个距离的均值，可能本身存在“非度量”特性（比如不满足三角不等式），这会进一步增大降维时的近似误差，导致二维图中的距离与原始矩阵不完全对应。

验证与解决建议 #

1. 量化降维拟合误差：利用cmdscale返回的eigvals计算应力值（Stress），衡量二维嵌入的拟合效果：

   stress = sqrt(sum(max(-eigvals,0))/sum(eigvals(eigvals>0)));
   

   应力值越接近0，拟合效果越好；若应力值较高（如>0.1），说明二维空间无法很好还原原始距离关系。
2. 尝试更高维度嵌入：如果允许，可将数据嵌入到3维空间，观察是否能更好匹配原始矩阵：

   [Y3,eigvals3] = cmdscale(mtrx_to_plot*100, 3);
   scatter3(Y3(:,1), Y3(:,2), Y3(:,3), 20, 'filled');
   text(Y3(:,1), Y3(:,2), Y3(:,3), arrayfun(@num2str, node_labels_G, 'UniformOutput', false));
   

3. 检查距离矩阵有效性：确认均值距离矩阵是否满足欧氏距离的基本性质（对称性、非负性、三角不等式），若存在违反情况，MDS的拟合效果会受影响。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marge Paris