竞赛编程模数数学题：求解N的解法推导逻辑疑问

题目回顾 #

Meow写下一个3位及以上的数字N，去掉最后一位得到M，计算S = N - M并告知你S，要求找出所有可能的N。

• 输入：第一行是测试用例数t(1≤t≤1000)，每个用例输入正整数S(100≤S≤10^17)
• 输出：每个用例输出所有可能的N，升序排列

示例输入：

3
100
500
1800

示例输出：

111
555
1999 2000

核心疑问 #

公开解法中反复用到数字9，这个数字的作用是什么？整个解法的推导逻辑是怎样的？

完整推导过程 #

1. 建立N和M的数学关系 #

设N是一个k位数（k≥3），把N拆成两部分：

• M：去掉N最后一位得到的数（至少是2位数）
• d：N的最后一位数字（0≤d≤9）

根据10进制数的结构，N可以表示为：
N = M × 10 + d

题目给出S = N - M，将N的表达式代入后：
S = (M×10 + d) - M = 9×M + d

到这里就能看到数字9的来源：它是10进制基数（10）减1的结果，是拆分N后与M做差时自然产生的系数，本质是10进制数的结构属性。

2. 求解M和d #

我们需要从S = 9×M + d中反推合法的M和d，其中M≥10（因为N是3位及以上，M至少是2位数），0≤d≤9。

分两种情况讨论：

情况1：d≠0

此时d = S % 9（S除以9的余数就是d，d在1-9之间），对应的M为：
M = (S - d) ÷ 9

代入N的表达式，得到唯一解：
N = M×10 + d

情况2：d=0

当S是9的倍数时，S % 9 = 0，此时d可以取0，同时还有另一种合法的d值：d=9（因为9≤9，满足最后一位数字的要求）。

• 当d=0时：S = 9×M → M = S÷9，对应N为M×10 + 0
• 当d=9时：S = 9×M + 9 = 9×(M+1) → M = (S - 9)÷9 = S÷9 -1，对应N为M×10 +9

验证可知：因为S≥100，所以S÷9≥11.11，S÷9 -1≥10.11，即M至少是10，对应的N是3位及以上，完全符合题目要求。

3. 对应代码逻辑 #

给出的代码完全对应上述推导：

t = int(input())

for _ in range(t):
    n = int(input())  # n就是题目中的S
    
    last_digit = n % 9  # 对应推导中的d
    x = (n - last_digit) // 9  # 对应推导中的M
    
    if last_digit == 0:
        # d=0和d=9的两种情况，输出两个解
        print((x - 1) * 10 + 9, x * 10)
    else:
        # d≠0时唯一解
        print(x * 10 + last_digit)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jia Yee Chong