Unity中如何通过两个向量计算圆的圆心？求有效实现方案

核心结论 #

仅给定圆上的两个点，无法唯一确定圆心。因为这两个点可以作为无数个圆的公共弦，所有可能的圆心都在这两点连线的垂直平分线上。

比如你给出的点(2,4)和(4,6)，它们连线的中点是(3,5)，连线的方向向量是(2,2)，垂直平分线的斜率为-1，方程为 y = -x + 8。你提到的圆心(4,4)确实在这条线上，但这条线上的任意点都可以作为过这两个点的圆的圆心，只是对应圆的半径不同。

示例隐含的必要条件 #

如果要得到唯一的圆心，必须补充额外约束：比如已知圆的半径、第三个圆上的点，或者圆心满足特定位置要求（比如在某条坐标轴上、与某条直线相切等）。从你描述的示意图来看（图中包含多个圆上点与绿色圆心），你实际场景中应该存在未明确说明的额外约束。

测试代码问题分析 #

你提供的两段代码均基于垂直平分线思路，但存在逻辑偏差：

第一段代码问题 #

Vector3 direction = point1.forward.normalized;
Vector3 centerApproximation = (point1.position + point2.position) / 2f;
float distance = Vector3.Distance(point1.position, point2.position);
Vector3 orthoVector = Vector3.Cross(direction, Vector3.up);
Vector3 circleCenter = centerApproximation + orthoVector.normalized * Mathf.Sqrt((distance * distance) / 4 - Vector3.Dot(centerApproximation - point1.position, orthoVector.normalized));

这段代码引入了point1.forward作为额外方向约束，但计算逻辑有误：中点到点1的向量与垂直平分线方向垂直，导致Vector3.Dot(...)结果为0，根号内仅保留半径相关项，最终得到的只是垂直平分线上的一个点，且依赖point1.forward的正确性，无法保证是你需要的特定圆心。

第二段代码问题 #

// Trouver le point médian
Vector3 midpoint = (point1 + point2) / 2f;
// Calculer un vecteur perpendiculaire à la droite formée par les deux points
Vector3 direction = (point2 - point1).normalized;
Vector3 perpendicular = new Vector3(-direction.z, 0, direction.x); // Pour un plan 2D, si besoin
// Ajouter ce vecteur au point médian pour obtenir le troisième point
Vector3 thirdPoint = midpoint + perpendicular * (distance / 2f);

这段代码仅在垂直平分线上生成了一个点（作为第三个参考点），并没有计算目标圆心——它只是无数可能圆心的其中一个，并非你指定的(4,4)。

补充约束后的正确推导 #

如果你的场景明确了约束条件（比如已知圆的半径r），可以通过以下步骤计算圆心：

1. 计算两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的中点M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
2. 计算AB的长度d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]
3. 计算垂直平分线上从M到圆心的距离h = √[r² - (d/2)²]（需满足r ≥ d/2，否则无解）
4. 计算AB的垂直方向单位向量：若AB的方向向量为(dx, dy)，则垂直方向向量为(-dy, dx)或(dy, -dx)，归一化后乘以h，加到中点M上，得到两个可能的圆心。

以你的示例为例：点(2,4)和(4,6)，已知目标圆心(4,4)对应的半径r=2，计算得d=2√2，h=√2；AB的垂直方向向量归一化后为(1,-1)，加到中点(3,5)上即可得到(4,4)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ColomerLu