如何在Qiskit中为Grover算法添加「坏态」预言机？

核心思路 #

要降低特定状态的出现概率，我们需要让这些「坏态」在Grover迭代中获得与「好态」相反的相位翻转，这样扩散算子会放大好态概率的同时，压低坏态的概率：

• 好态预言机：利用辅助位的|->态，匹配好态时触发相位翻转π。
• 坏态预言机：临时将辅助位转为|+>态，匹配坏态时触发相位翻转-π（与好态相位变化相反），之后恢复辅助位状态。

坏态预言机实现示例 #

单个坏态标记

以下是标记十进制512（二进制0b1000000000）的预言机代码：

def oracle_bad_512(qc):
    n = 10
    # 将辅助位从|->临时转为|+>，使mcx触发时目标态相位翻转-π
    qc.z(n)
    # 构造坏态512的匹配逻辑：该态qubit9为1，其余为0，翻转0-8位使所有数据qubit为1
    qc.x(list(range(9)))
    qc.mcx(list(range(n)), n)
    qc.x(list(range(9)))  # 恢复数据qubit状态
    # 将辅助位恢复为|->态
    qc.z(n)
    return qc

多个坏态标记

如果需要同时标记多个坏态（比如512和256），可在同一个预言机中叠加匹配逻辑：

def oracle_bad_multiple(qc):
    n = 10
    qc.z(n)
    # 标记坏态512
    qc.x(list(range(9)))
    qc.mcx(list(range(n)), n)
    qc.x(list(range(9)))
    # 标记坏态256（二进制0b0100000000，qubit8为1，其余为0）
    qc.x(list(range(8)) + [9])
    qc.mcx(list(range(n)), n)
    qc.x(list(range(8)) + [9])
    qc.z(n)
    return qc

整合到现有代码 #

修改main函数的迭代逻辑，在好态预言机之后添加坏态预言机：

def main():
    n = 10  # 数据qubit数量
    qc = QuantumCircuit(n + 1, n)
    qc.x(n)
    qc.h(range(n + 1))
    k = 2  # 好态数量
    # 可根据坏态数量微调迭代次数，先保持原有逻辑，再根据运行结果调整
    r = int(np.pi * np.sqrt(2**n/k) / 4)
    for _ in range(r):
        # 应用好态预言机
        qc = oracle127(qc)
        qc = oracle896(qc)
        # 应用坏态预言机
        qc = oracle_bad_512(qc)  # 或 oracle_bad_multiple(qc)
        # 扩散操作
        qc.h(range(n))
        qc.x(range(n))
        qc.h(n - 1)
        qc.mcx([i for i in range(n-1)], n - 1)
        qc.h(n - 1)
        qc.x(range(n))
        qc.h(range(n))
    qc.measure(range(n), range(n))

    backend = AerSimulator()
    compiled_circuit = transpile(qc, backend)
    job = backend.run(compiled_circuit, shots=1000)
    counts = job.result().get_counts()
    print(counts)

原理说明 #

• 辅助位初始为|->态（x(n)+h(n)），好态预言机触发时，好态相位翻转π。
• 坏态预言机通过z(n)将辅助位转为|+>态，此时触发mcx会让坏态相位翻转-π，与好态相位变化相反。
• 扩散算子会根据相位调整概率：相位为π的好态概率被放大，相位为-π的坏态概率被压低，其余态概率变化介于两者之间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jihyun