实现连接凸包的Bubblesets风格曲线：数学方法技术问询

1. 定位连接锚点与切线方向 #

• 在两个经Catmull-Rom平滑后的凸包曲线上，找到彼此距离最近的一对点P1（凸包A上）和P2（凸包B上）。可通过采样曲线上的密集点对，计算欧氏距离筛选出最小距离点对。
• 提取P1、P2在各自凸包曲线上的切线方向：Catmull-Rom样条的切线可通过相邻控制点差值计算，或对平滑曲线求一阶导数得到。需将切线方向调整为凸包外侧（指向两个凸包之间的区域，避免连接曲线向内延伸）。

2. 构建连接曲线的核心结构 #

Bubblesets的连接路径本质是「两段偏移曲线 + 一段过渡圆弧」的组合：

• 偏移曲线生成：从P1出发，沿着凸包A的法线方向（切线逆时针转90度，根据外侧方向调整）移动固定距离（设为w/2，w是连接路径的宽度），生成一段与凸包A平滑衔接的偏移曲线；同理从P2出发生成凸包B的偏移曲线。
• 过渡圆弧衔接：用一段半径为w/2的圆弧连接两条偏移曲线的端点Q1和Q2。确保圆弧与两条偏移曲线平滑相切：
  1. 圆弧圆心O需满足：OQ1 = OQ2 = w/2；
  2. OQ1的方向与Q1处偏移曲线的切线垂直，OQ2的方向与Q2处偏移曲线的切线垂直。
     解这组几何约束即可确定圆心位置，进而绘制圆弧。

3. 关键数学细节 #

• 偏移曲线计算：对Catmull-Rom平滑后的凸包曲线，取曲线上每个采样点，沿着该点的法线方向（外侧）移动w/2，将这些偏移点用Catmull-Rom或贝塞尔曲线重新拟合，得到平滑的偏移曲线。
• 切线与法线转换：若切线方向向量为(dx, dy)，则外侧法线向量为(-dy, dx)（逆时针转90度）或(dy, -dx)（顺时针转90度），需根据凸包的朝向选择正确的方向。

4. 边界情况优化 #

• 若两个凸包存在重叠，需将锚点调整到重叠区域的边缘，避免连接曲线穿过凸包内部。
• 可通过调整w（连接宽度）、过渡圆弧的半径（或改用三次贝塞尔曲线调整曲率），优化连接路径的视觉效果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pele