np.einsum('ij,kl->il')运算逻辑解析及与矩阵乘法的疑问

1. 求和维度的明确 #

在np.einsum('ij,kl->il', A, B)中，被求和的是A的第二个维度j和B的第一个维度k。einsum的核心规则是：所有没出现在输出标签（这里是il）里的输入维度，都会被遍历后求和。这里输入维度是i,j（对应A的(4,2)形状）和k,l（对应B的(2,3)形状），输出只保留i和l，所以j和k这两个维度会被完全遍历并累加求和。

2. 直观理解方式 #

这个操作可以简化成：输出矩阵E的每个元素E[i,l]，等于A第i行所有元素的和，乘以B第l列所有元素的和。

推导过程很直接：对于固定的i和l，E[i,l]的计算是对所有j（0到1）和k（0到1）的A[i,j] * B[k,l]求和，拆分后就是：

E[i,l] = (A[i,0] + A[i,1]) × (B[0,l] + B[1,l])

把双重求和转化成两个单求和的乘积，一下子就清晰了。

3. 示例数值拆解验证 #

用给定的矩阵A和B实际算几个值，验证逻辑：

• A：np.array([[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]])（4行2列）
• B：np.array([[9,10,11],[12,13,14]])（2行3列）

计算E[0,0] #

• A第0行的和：1+2=3
• B第0列的和：9+12=21
• E[0,0] = 3×21=63
• 对应einsum的展开计算：1×9 +1×12 +2×9 +2×12 =9+12+18+24=63，结果完全一致。

计算E[1,1] #

• A第1行的和：3+4=7
• B第1列的和：10+13=23
• E[1,1] =7×23=161
• 展开计算：3×10 +3×13 +4×10 +4×13=30+39+40+52=161，没问题。

计算E[3,2] #

• A第3行的和：7+8=15
• B第2列的和：11+14=25
• E[3,2]=15×25=375
• 展开计算：7×11 +7×14 +8×11 +8×14=77+98+88+112=375，完全匹配。

4. 和常规矩阵乘法的区别 #

常规矩阵乘法np.einsum('ij,jk->ik', A, B)是对共享的维度j=k求和（A的第j列和B的第j行对应相乘后累加），而当前操作是对两个独立的维度j和k分别求和后再相乘，只是刚好输出维度和矩阵乘法一样（都是4行3列），本质逻辑完全不同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nbulkz