为何torch.linalg.eig计算的特征对无法通过特征对测试？

问题重现 #

运行代码：

import torch

torch.manual_seed(47)

m = torch.rand([8, 8])

eigvals, eigvecs = torch.linalg.eig(m)

print(m.type(torch.complex64) @ eigvecs[0] - eigvals[0] * eigvecs[0])  # 预期结果应趋近于0

得到输出：

tensor([ 2.2827+0.0995j, -0.9539-0.0442j, -1.9871-0.0204j, -0.6442-0.0372j,
        -0.8338-0.0518j,  1.2168-0.0077j,  0.4924-0.5008j,  0.9643+0.4292j])

核心问题 #

为何特征对测试未得到趋近于0的结果？

原因解析 #

• 特征向量索引错误：torch.linalg.eig返回的eigvecs中，每一列对应一个特征向量，而非每一行。代码中eigvecs[0]取的是矩阵的第一行，并非与eigvals[0]对应的特征向量，自然无法满足Mv = λv的特征方程。
• 正确的索引方式：应取eigvecs[:, 0]来获取与eigvals[0]匹配的特征向量。修改后重新运行代码，结果会趋近于0向量：

  print(m.type(torch.complex64) @ eigvecs[:, 0] - eigvals[0] * eigvecs[:, 0])
  

  输出示例（近似值）：

  tensor([ 1.1921e-07+0.0000e+00j, -2.3842e-07+0.0000e+00j,  0.0000e+00+0.0000e+00j,
          0.0000e+00+0.0000e+00j,  0.0000e+00+0.0000e+00j,  0.0000e+00+0.0000e+00j,
          0.0000e+00+0.0000e+00j,  0.0000e+00+0.0000e+00j])
  

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Moon