面向SQL优化衍生的图论最小成本贿赂策略通用算法求解

核心方法：状态动态规划（DP） #

由于人数N≤10，我们可以用二进制掩码表示已获得认可的人员集合，通过动态规划遍历所有可能的状态，找到从空集合到全集合的最低成本路径。

状态定义 #

用dp[mask]表示达成mask状态（二进制每一位对应人员是否已认可）所需的最小成本。例如N=3时，mask=0b111代表所有人都认可，dp[0b111]就是最终要求的答案。初始时dp[0] = 0，其余状态设为无穷大。

方案预处理 #

把两种贿赂方案统一转换为「前置条件掩码+目标人员+成本」的格式：

• 直接贿赂：前置条件掩码为0（无前置要求），目标是指定人员，成本为给定值。
• 群体贿赂：把要求的群体成员转换成二进制掩码（比如成员1对应0b001），目标是指定人员，成本为给定值。

状态转移逻辑 #

遍历每个状态mask：

1. 如果dp[mask]为无穷大，说明该状态无法到达，直接跳过。
2. 对每个预处理后的方案：
   • 检查当前mask是否满足方案的前置条件（即mask & 前置掩码 == 前置掩码）。
   • 若满足，计算执行方案后的新状态new_mask = mask | (1 << (目标人员-1))。
   • 更新dp[new_mask]为当前dp[new_mask]和dp[mask] + 方案成本中的较小值。

示例验证 #

以题目中的N=3为例：

• 初始dp[0] = 0。
• 执行直接贿赂1的方案后，dp[0b001] = 10。
• 基于0b001状态执行群体贿赂2的方案，dp[0b011] = 10+5=15。
• 基于0b011状态执行群体贿赂3的方案，dp[0b111] =15+3=18，这就是最优解。

伪代码实现 #

def min_total_bribe(N, schemes):
    processed = []
    for s in schemes:
        if len(s) == 2:
            # 直接贿赂：目标、成本
            target, cost = s
            processed.append( (0, target, cost) )
        else:
            # 群体贿赂：成员列表、目标、成本
            group = s[:-2]
            target, cost = s[-2], s[-1]
            pre_mask = 0
            for member in group:
                pre_mask |= 1 << (member - 1)
            processed.append( (pre_mask, target, cost) )
    
    total_states = 1 << N
    dp = [float('inf')] * total_states
    dp[0] = 0
    
    for mask in range(total_states):
        if dp[mask] == float('inf'):
            continue
        for pre_mask, target, cost in processed:
            if (mask & pre_mask) == pre_mask:
                new_mask = mask | (1 << (target - 1))
                if dp[new_mask] > dp[mask] + cost:
                    dp[new_mask] = dp[mask] + cost
    
    return dp[(1 << N) - 1]

复杂度说明 #

• 状态总数为2^N，N=10时仅1024个状态。
• 每个状态遍历最多N*2^(N-1)个方案，总计算量约500万次，完全高效可行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nate