如何从数据点拟合正确数学函数？高次多项式拟合异常排查

问题背景 #

给定以下数据点，尝试拟合数学函数，但使用最高次多项式（次数等于数据点数量-1）拟合后，在测试区间内得到剧烈波动的异常结果：

原始数据：

x = [560, 387, 280, 231, 196, 168, 148, 136, 124, 112, 104, 101, 93, 88, 84, 80, 76]
y = [10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90]

用户采用的错误拟合代码：

import numpy as np

coefficients = np.polyfit(x, y, len(x) - 1)
polynomial = np.poly1d(coefficients)

测试代码及异常表现：

import matplotlib.pyplot as plt

x1 = []
y1 = [] 
for i in range(276, 570, 1):
    x1.append(i)
    y1.append(polynomial(i))

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(x1, y1, 'o')
plt.show()

测试结果呈现大幅振荡的异常曲线，完全偏离原始数据的单调趋势。

问题原因 #

使用最高次插值多项式拟合时，虽然能完全穿过所有给定数据点，但会触发龙格现象：在数据点区间的边缘或外部，多项式会产生极端振荡，导致预测结果完全失真。从原始数据来看，x随y增大单调递减，显然需要更平滑的拟合函数。

正确拟合方法 #

方法1：低次多项式拟合 #

选择2次或3次多项式，平衡拟合精度与曲线平滑度：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = [560, 387, 280, 231, 196, 168, 148, 136, 124, 112, 104, 101, 93, 88, 84, 80, 76]
y = [10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90]

# 用2次多项式拟合
coeffs = np.polyfit(x, y, 2)
poly = np.poly1d(coeffs)

# 生成测试区间曲线
x1 = np.arange(276, 570, 1)
y1 = poly(x1)

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(x, y, 'ro', label='原始数据点')
plt.plot(x1, y1, 'b-', label='2次拟合曲线')
plt.legend()
plt.show()

方法2：非线性函数拟合 #

观察数据趋势，x与y呈现反比例或对数相关特征，尝试非线性模型（示例为反比例函数）：

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([560, 387, 280, 231, 196, 168, 148, 136, 124, 112, 104, 101, 93, 88, 84, 80, 76])
y = np.array([10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90])

# 定义反比例函数模型
def inverse_func(x, a, b):
    return a / x + b

# 拟合参数
params, _ = curve_fit(inverse_func, x, y)
a_fit, b_fit = params

# 生成拟合曲线
x1 = np.arange(276, 570, 1)
y1 = inverse_func(x1, a_fit, b_fit)

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(x, y, 'ro', label='原始数据点')
plt.plot(x1, y1, 'g-', label=f'反比例拟合: y={a_fit:.2f}/x + {b_fit:.2f}')
plt.legend()
plt.show()

方法3：B样条插值 #

既保留数据点细节，又避免剧烈振荡：

from scipy.interpolate import make_interp_spline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([560, 387, 280, 231, 196, 168, 148, 136, 124, 112, 104, 101, 93, 88, 84, 80, 76])
y = np.array([10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90])

# 先对x排序（样条插值要求输入有序）
sorted_indices = np.argsort(x)
x_sorted = x[sorted_indices]
y_sorted = y[sorted_indices]

# 创建三次B样条插值函数
spl = make_interp_spline(x_sorted, y_sorted, k=3)
x1 = np.arange(76, 570, 1)
y1 = spl(x1)

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(x, y, 'ro', label='原始数据点')
plt.plot(x1, y1, 'm-', label='三次B样条插值曲线')
plt.legend()
plt.show()

总结 #

• 绝对避免用最高次多项式拟合数据，龙格现象会直接导致预测结果异常。
• 根据数据趋势选择低次多项式、非线性函数或样条插值，既能保证拟合精度，又能得到符合预期的平滑曲线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aurélien