求重心细分后子单纯形顶点的Python实现或工具方案

核心数学逻辑 #

重心细分的核心可以通过组合排列+重心生成无缝扩展到任意维度和细分层级：

• 对于由d+1个顶点张成的d维单纯形（比如K=3时的2维三角形），1次重心细分后的每个子单纯形，对应原顶点的一个全排列。每个排列对应的子单纯形顶点，是排列中前1个、前2个……前d+1个顶点的重心（即子集的算术平均）。例如K=3的标准基单纯形，排列[[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]]对应的子单纯形顶点为[ [1,0,0], (1/2,1/2,0), (1/3,1/3,1/3) ]。
• 多层细分通过递归实现：m次细分就是对m-1次细分得到的所有子单纯形，再执行1次重心细分。

实现步骤 #

1. 单次细分函数：输入一个d维单纯形的顶点列表，生成该单纯形1次细分后的所有子单纯形。
2. 递归多层细分：输入原单纯形顶点和细分层级，通过迭代调用单次细分函数，完成指定次数的细分。

Python代码实现 #

import itertools
import numpy as np

def compute_centroid(points):
    """计算一组点的重心"""
    return np.mean(points, axis=0).tolist()

def barycentric_subdivide_once(simplex):
    """对单个d维单纯形执行1次重心细分，返回所有子单纯形"""
    vertex_count = len(simplex)  # d维单纯形有d+1个顶点
    sub_simplices = []
    # 生成原顶点的所有全排列
    for perm in itertools.permutations(simplex):
        sub_vertices = []
        # 依次取前k个顶点的重心，k从1到顶点总数
        for k in range(1, vertex_count + 1):
            centroid = compute_centroid(perm[:k])
            sub_vertices.append(centroid)
        sub_simplices.append(sub_vertices)
    return sub_simplices

def barycentric_subdivide(simplex, levels):
    """对单纯形执行levels层级重心细分，返回所有子单纯形"""
    current_simplices = [simplex]
    for _ in range(levels):
        next_simplices = []
        for s in current_simplices:
            next_simplices.extend(barycentric_subdivide_once(s))
        current_simplices = next_simplices
    return current_simplices

# 测试示例：K=3（2维单纯形），1次细分
original_simplex = [[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]]
subdivided = barycentric_subdivide(original_simplex, 1)
print(f"1次细分后子单纯形数量：{len(subdivided)}")  # 输出6，符合预期
# 打印第一个子单纯形的顶点（保留3位小数）
print("第一个子单纯形顶点：")
for pt in subdivided[0]:
    print(np.round(pt, 3))

注意事项 #

• 高维（d>3）和多层级细分会产生指数级增长的子单纯形数量，计算时需注意性能瓶颈，可按需加入结果过滤或剪枝逻辑。
• 代码使用numpy处理重心计算以保证数值稳定性，也可替换为纯Python列表运算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joe Emmens