关于形如$T(x) = \sum_{j\geq 1} \lambda_j \langle x, u_j \rangle u_j$的算子的名称及无界正自伴算子形式等价性的问询

Great observations first—you’ve nailed the key properties of this type of operator, and your question gets right to a core result in operator theory!

先明确你描述的算子名称 #

你定义的这种算子通常被称为纯离散谱的无界正自伴算子，或者更直白地说，是正交基下对角化的无界正自伴算子。它在给定的正交基${u_j}$下对应一个对角“矩阵”，对角元是递增到无穷的正数列$\lambda_j$，这是无界正自伴算子里结构最清晰的一类。

你的观察完全正确 #

• 你举的例子（$u_j=e_j$，$x=(1/j)$，$\lambda_j=j$）完美展示了无界算子的核心特点：它的定义域$D = {x \in \ell^2(\mathbb{N}) \mid Tx \in \ell^{2(\mathbb{N})}$不是整个$\ell}2$空间，即使$x$属于$\ell^2$，$Tx$也可能跳出这个空间。
• 你验证的正定性（$\langle Tx, x \rangle \geq 0$对所有$x \in D$成立）和自伴性（对$x,y \in D$有$\langle y, Tx \rangle = \langle x, Ty \rangle$）完全准确，这两个性质加上无界性，正是这类算子的核心标识。

核心问题解答：不是所有无界正自伴算子都能写成这种形式 #

根据希尔伯特空间上的谱定理，可分空间（比如$\ell^2(\mathbb{N})$）上的任何无界正自伴算子都有谱分解，但你的求和式只是其中的特殊情况：

1. 你的求和形式对应纯离散谱的情况：当算子的谱完全由孤立的特征值组成，且这些特征值对应的特征向量构成$\ell^2(\mathbb{N})$的一个正交基时，谱分解就退化为你写的离散求和式。这类算子是可对角化的，结构最简单。
2. 存在有连续谱的无界正自伴算子：这类算子没有特征值（或者特征值的闭包不覆盖整个谱），因此无法找到正交特征基来对角化。比如，考虑$\ell^{2(\mathbb{N})$上的算子，它酉等价于$L}2([0,\infty))$上的乘法算子$Mf(t) = t f(t)$（定义域是${f \mid t f(t) \in L^2([0,\infty))}$）。这个算子是正自伴无界的，它的谱是$[0,\infty)$（连续谱，没有特征值），显然无法写成你给出的离散求和形式——因为根本没有特征向量可以用来展开。

总结 #

• 你描述的是纯离散谱无界正自伴算子的标准形式；
• 所有无界正自伴算子都有谱分解，但只有纯离散谱的才能写成这种离散求和形式；
• 有连续谱的无界正自伴算子需要用谱积分$\displaystyle T = \int_0^\infty \lambda , dE(\lambda)$来表示，其中$E(\lambda)$是谱测度（一族投影算子）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drew Brady