链式法则的该证明是否可被挽救？
嘿，这个问题提得特别到位——不少人第一次啃这类分析证明时，都会卡在这个“能不能除以$|L_f(h)+\varepsilon_f(h)|$”的点上，放心，这个证明完全能被挽救，咱们一步步把这个漏洞补上。
首先先回顾一下链式法则的陈述，方便大家对照：
链式法则：设$U$、$V$、$W$为赋范空间，$U'\subseteq U$和$V'\subseteq V$是开集。若$f:U'\rightarrow V$在$a\in U$处可微，$g:V\rightarrow W$在$b=f(a)$处可微，则复合函数$g \circ f:U'\rightarrow W$在$a$处可微，且
$$(g\circ f)' (a) = g'(f(a))\circ f'(a).$$
你给出的这个证明思路和斯皮瓦克《流形上的微积分》里的很像，核心是用“最佳线性逼近的复合就是复合函数的最佳线性逼近”来构造候选映射，唯一的问题就是当$h$趋近于0时，$L_f(h)+\varepsilon_f(h)$可能等于0，这时候就没法直接做除法拆分。
补救方法1：重新明确$\varepsilon_g$的定义
其实我们可以给$\varepsilon_g$补一个小定义：让$\varepsilon_g(0)=0$，并且保持当$k\neq0$时，$\frac{|\varepsilon_g(k)|}{|k|}\to0$（$k\to0$）的性质。
为什么这么做？因为线性映射$L_g$满足$L_g(0)=0$，代入$g(b+k)$的表达式，当$k=0$时：
$$g(b)=g(b)+L_g(0)+\varepsilon_g(0) \implies \varepsilon_g(0)=0$$
这个等式本来就是成立的，只是很多证明里没明确写出来。现在有了这个定义，不管$L_f(h)+\varepsilon_f(h)$是不是0，我们都可以把那项写成：
$$\frac{|\varepsilon_g(L_f(h)+\varepsilon_f(h))|}{|h|} = \begin{cases}
\left(\frac{|\varepsilon_g(k_h)|}{|k_h|}\right)\left(\frac{|k_h|}{|h|}\right) & \text{当 } k_h=L_f(h)+\varepsilon_f(h)\neq0 \
0 & \text{当 } k_h=0
\end{cases}$$
当$h\to0$时，第一种情况里$\frac{|\varepsilon_g(k_h)|}{|k_h|}\to0$，$\frac{|k_h|}{|h|}\leq\frac{|L_f(h)|}{|h|}+\frac{|\varepsilon_f(h)|}{|h|}$，而$L_f$是有界线性映射，$\frac{|L_f(h)|}{|h|}\leq|L_f|$，$\frac{|\varepsilon_f(h)|}{|h|}\to0$，所以这部分的乘积趋近于0；第二种情况直接就是0，自然也趋近于0。这样就完美补上了除法的漏洞。
补救方法2：分情况讨论
如果不想改动$\varepsilon_g$的定义，也可以直接分两种情况处理：
- 情况1：存在$a$的某个邻域，使得对所有$h$（$|h|$足够小），$L_f(h)+\varepsilon_f(h)\neq0$：这时候直接用你原来的推导就行，各项极限都是0，没问题。
- 情况2：不存在这样的邻域，即存在序列$h_n\to0$，使得$L_f(h_n)+\varepsilon_f(h_n)=0$：对于这个序列里的每个$h_n$，$\varepsilon_g(L_f(h_n)+\varepsilon_f(h_n))=\varepsilon_g(0)$，而根据可微的定义，$g(b+0)=g(b)+L_g(0)+\varepsilon_g(0)$，结合$L_g(0)=0$，可得$\varepsilon_g(0)=0$。所以$\frac{|\varepsilon_g(L_f(h_n)+\varepsilon_f(h_n))|}{|h_n|}=0$，当$n\to\infty$时极限自然是0。
不管哪种情况，最后那项的极限都是0，所以原证明的结论依然成立。
总的来说，这个证明的核心思路完全没问题，只是漏了对“$L_f(h)+\varepsilon_f(h)=0$”这种特殊情况的处理，补上之后就严谨了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam
