在ZF系统中是否存在不含ω*拷贝的非良序线性序？

答案是肯定的，而且“所有不含$\omega^*$拷贝的线性序都是良序”这个命题在ZF中确实不可证——也就是说，存在ZF的模型，其中存在满足条件的线性序。

先理清楚几个基础结论：

• 首先，良序绝对不可能包含$\omega^*$（也就是$\omega$的对偶序，一个无穷递降的元素序列），这个结论不需要选择公理，在ZF里就能直接证明。
• 但到了ZFC框架下，我们能轻松证明“任何非良序的线性序都包含$\omega^{*$”：只要找一个没有最小元的非空子集，然后用选择公理不断从里面挑更小的元素，就能构造出一个无穷递降的$\omega}*$序列。但这个证明完全依赖选择公理——没有选择的话，我们没法保证能完成这个“无限挑选”的操作。

回到ZF的情况：既然没有选择公理就没法推导出那个命题，那它自然在ZF中不可证。我们可以构造出ZF的模型，里面存在这样的线性序：它不是良序，但也不含任何$\omega^*$的拷贝。

最经典的例子就是无限戴德金有限集上的线性序：这类集合是无限的，但无法和它的任何真子集建立一一对应（在无选择公理的ZF中，这样的集合是存在的）。给它赋予一个线性序后：

1. 它不是良序：如果它是良序，我们就能从中选出一个可数无限的递增序列，但戴德金有限集不存在这样的子集；
2. 它不含$\omega^{*$拷贝：$\omega}*$是无穷递降序列，对应一个可数无限的子集，而戴德金有限集的所有可数子集都是有限的，所以不可能存在这样的无穷递降序列。

说白了，没有选择公理的加持，我们没法保证从非良序的线性序里“提取”出无穷递降序列，而这类戴德金有限集上的线性序就是最直观的反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zoe Allen