递归实现Horner法计算泰勒级数：两段代码结果为何差异显著？

第一段代码（正确实现） #

这段代码通过静态累加变量结合Horner法计算泰勒级数，能得到符合预期精度的结果：

#include <stdio.h>

double t(int n,int m){
    static double a = 1.0;
    if(m==0)
        return a;
    a = 1+(double)n/m*a;
    return t(n,m-1);
}

int main(){
    printf("%lf\n",t(4,1500));
}

第二段代码（结果不符合预期） #

这段代码尝试用单返回语句实现递归，但输出结果为1.002674，与预期不符：

#include <stdio.h>

double e(int x, int m){
    if(m==0)
        return 1.0;
    return 1+((double)x/m)*e(x,m-1);
}

int main(){
    printf("%lf\n",e(4,1500));
}

两段代码的核心差异 #

1. 计算顺序与Horner法的应用

   • 第一段代码是从高次项往低次项迭代计算，严格遵循Horner法的改写逻辑：
     泰勒级数 (e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^m}{m!}) 用Horner法可改写为：
     (e^x = (...((1 + \frac{x}{m}) * 1 + \frac{x}{m-1}) * 1 + ...) + \frac{x}{1}) + 1)
     静态变量a每次迭代更新当前累加值，从m=1500逐步计算到m=0，最终得到正确结果。
   • 第二段代码是从低次项往高次项递归计算，递归展开后实际计算的表达式为：
     (e(x,m) = 1 + \frac{x}{m}(1 + \frac{x}{m-1}(1 + ...*(1 + \frac{x}{1}*1)...)))
     这完全偏离了泰勒级数的Horner改写形式，本质上计算的不是目标的 (e^x)。

2. 变量存储与逻辑本质

   • 第一段代码的递归只是用来控制循环次数，核心是通过静态变量a迭代更新中间结果，属于迭代式递归。
   • 第二段代码是纯递归，每次调用都重新计算子问题，没有保存中间结果，且计算顺序错误导致表达式完全偏离需求。

结果不符的根本原因 #

第二段代码的错误并非单纯精度损失，而是计算的表达式本身就不是目标泰勒级数。当m=1500时，(\frac{x}{m})的值极小（4/1500≈0.002666），递归展开后每一层都是乘以一个接近0的数再加1，最终结果会趋近于1，这就是输出为1.002674的原因。而第一段代码的计算顺序符合Horner法的优化，能正确累加泰勒级数的各项，得到接近 (e^4≈54.59815) 的正确结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amitava Bose