积分求和规则的矛盾疑问：Mathematica计算结果与理论推导不符

嗨，我来帮你拆解这个看似矛盾的问题~

你观察到的代数化简没错：把左边两个积分的被积函数相减，确实能得到右边的被积函数，但为什么Mathematica计算出来的结果不相等呢？核心问题出在反常积分的收敛性上！

咱们先看积分区域：x∈[-2,1]，y∈[0,3]，这时候直线y=x刚好穿过这个区域（当x∈[0,1]时，y=x落在y的取值范围内）。而左边两个积分的被积函数里都有1/(x-y)项，在y=x处会趋向无穷大，这意味着这两个积分都是反常积分——普通积分的线性规则（∫(f-g)=∫f-∫g）只在两个积分都收敛的情况下才成立，但这里的两个单独积分其实是发散的！

举个简单的类比：比如∫₋₁¹ 1/x dx，这个积分本身是发散的，但如果是∫₋₁¹ (1/x - 1/x)dx，结果显然是0。但你不能直接说∫₋₁¹1/x dx - ∫₋₁¹1/x dx=0，因为两个发散的积分做减法是没有意义的，只有当把它们作为一个整体（抵消发散部分后），才能得到收敛的结果。

回到你的问题，咱们把被积函数拆开看：
log(x²-y²)=log|x-y| + log|x+y|，左边第一个积分的被积函数可以拆成：
x/(x-y)log|x-y| + x/(x-y)log|x+y|
第二个积分的被积函数拆成：
y/(x-y)log|x-y| + y/(x-y)log|x+y|

相减之后，x/(x-y)log|x-y| - y/(x-y)log|x-y|这一项，代数上等于log|x-y|，但单独看这两个子项，在y=x附近（令t=x-y，t→0），它们的行为近似于y/t log|t|，积分∫log|t|/t dt在t→0时是发散的（原函数是(1/2)(log|t|)²，趋向无穷）。也就是说，左边两个积分各自都包含发散的部分，只有当把它们放在一起相减时，发散的部分才会抵消，得到一个收敛的积分；但Mathematica单独计算每个积分时，要么无法处理这种发散，要么计算的是柯西主值，而两个主值的差并不等于合并后积分的结果——因为发散部分的抵消只能在整体运算中生效，单独计算时发散项会导致结果偏离预期。

简单来说：反常积分的线性运算有前提，必须所有积分都收敛才行。你遇到的情况就是两个发散积分的差得到了收敛积分，但单独计算发散积分的结果，自然和合并后的收敛积分结果不相等啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yair