关于正交矩阵若尔当标准形中含R_t块的疑问

嗨，我来帮你把这事儿捋明白～

首先得回忆正交矩阵的核心性质：正交矩阵的所有特征值的模长都是1。这意味着它的特征值只有两种可能：要么是实数1或者-1，要么是一对共轭的复数$e^{it}$和$e{-it}$（也就是$\cos t \pm i\sin t$，$t \neq k\pi$）。

你提到的$R_t$块，其实是我们在实数域上处理复特征值时的产物——毕竟正交矩阵是实矩阵，我们希望用实的相似变换（而且还是正交变换，因为要保持正交性）来化简它，而不是用复矩阵。

具体来说，假设正交矩阵$A$有一个复特征值$\lambda = \cos t + i\sin t$，对应的复特征向量是$v = u + iv$（其中$u、v$是实向量）。因为$A$是实矩阵，所以$\lambda$的共轭$\overline{\lambda} = \cos t - i\sin t$必然也是$A$的特征值，对应特征向量$\overline{v} = u - iv$。

接下来我们看看$A$作用在实向量$u$和$v$上的结果：
$$
Av = A(u+iv) = Au + iAv = \lambda v = (\cos t + i\sin t)(u + iv)
$$
把右边展开后分离实部和虚部，就能得到：
$$
Au = \cos t \cdot u - \sin t \cdot v \
Av = \sin t \cdot u + \cos t \cdot v
$$
这说明，如果我们把$u$和$v$作为一组实基，那么$A$在这组基下的限制就是矩阵：
$$
R_{t}=
\left(\begin{array}{cc}
\cos(t) & \sin(t)\
-\sin(t) & \cos(t)
\end{array}\right)
$$

再补充一点：正交矩阵属于实正规矩阵（满足$A^T A = AA^T$），而实正规矩阵在正交相似变换下，一定可以分解成由1×1块（对应实特征值1或-1）和2×2的$R_t$块（对应共轭复特征值对）组成的分块对角矩阵。这就是为什么你在相关讨论里会看到这个$R_t$块出现在它的标准形中啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Toasted_Brain