求解满足“任意点到原点的弧长等于该点有向曲率”的函数y(x)

我现在遇到一个微分方程的问题，想找到满足任意点到原点的弧长等于该点有向曲率的函数$y(x)$，下面是我的思路和卡住的地方，希望能得到大家的帮助：

首先，我们已知弧长$s$和有向曲率$\kappa$的计算公式：
弧长公式：
$$
s\left( a, b, \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right) = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}} \operatorname{d}x
$$
有向曲率公式：
$$
\kappa\left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x}, \frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}} \right) = \frac{\frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}}}{\left( 1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}
$$

由于我们讨论的是从原点到曲线上任意点的弧长，所以积分下限取$a=0$，上限取$b=x$，这样就得到一个非线性高阶常微分方程：
$$
\begin{align*}
s\left( 0, x, \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right) &= \kappa\left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x}, \frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}} \right)\
\int_{0}^{x} \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}} \operatorname{d}x &= \frac{\frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}}}{\left( 1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}\
\end{align*}
$$

接下来就是最棘手的部分：求解这个ODE。下面是我几次失败的尝试：

我的第一次求解尝试 #

我一开始想不出具体的解，就先尝试对方程做变形：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{x} \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}} \operatorname{d}x &= \frac{\frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}}}{\left( \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}} \right)^{3}}
\end{align*}
$$
然后我做了变量替换：令$u\left( x \right) := \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}}$，代入后得到：
$$
\int_{0}^{x} u\left( x \right) \operatorname{d}x = \frac{\frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}}}{u\left( x \right)^{3}}
$$
两边乘以$u(x)^3$：
$$
\int_{0}^{x} u\left( x \right) \operatorname{d}x \cdot u\left( x \right)^{3} = \frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}} \tag{1}
$$
接下来我对$u(x)$的表达式求导，找到$y''(x)$和$u'(x)$的关系：
$$
\begin{align*}
u\left( x \right)^{2} - 1 &= \left( \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \right)^{2}\
\sqrt{u\left( x \right)^{2} - 1} &= \frac{\operatorname{d}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x}
\end{align*}
$$
两边对$x$求导：
$$
\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)^2 - 1}} = \frac{\operatorname{d}^{2}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{2}} \tag{2}
$$
把(2)代入(1)后得到：
$$
\int_{0}^{x} u\left( x \right) \operatorname{d}x \cdot u\left( x \right)^{3} = \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)^2 - 1}}
$$
到这里我就卡住了，不知道怎么继续往下解。

我的第二次求解尝试 #

接下来我想把这个高阶非线性ODE转化为三阶非线性ODE，看看会不会有帮助，还是用之前的变量替换$u(x)$：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{x} u\left( x \right) \operatorname{d}x &= \frac{u'(x)}{2 \cdot u\left( x \right)^{3} \cdot \sqrt{u\left( x \right) - 1}}
\end{align*}
$$
然后我对两边求导，结果得到的式子看起来更复杂了，我只能又放弃了。

数值方法的尝试 #

我想着用数值方法来近似求解，用欧拉法的差分近似：$\frac{\operatorname{d}f\left( x \right)}{\operatorname{d}x} \approx \frac{f\left( x + h \right) - f\left( x \right)}{h}$（$h$取很小的值），把之前的方程转化为差分形式：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{x} u\left( x \right) \operatorname{d}x &\approx \frac{u\left( x + h \right) - u\left( x \right)}{2 \cdot u\left( x \right)^{3} \cdot \sqrt{u\left( x \right) - 1} \cdot h}
\end{align*}
$$
然后我对两边再求导，得到二阶差分的近似：
$$
\begin{align*}
u\left( x \right) &\approx \frac{u\left( x + 2h \right) - u\left( x + h \right)}{2 \cdot u\left( x + h \right)^{3} \cdot \sqrt{u\left( x + h \right) - 1} \cdot h^{2}} - \frac{u\left( x + h \right) - u\left( x \right)}{2 \cdot u\left( x \right)^{3} \cdot \sqrt{u\left( x \right) - 1} \cdot h^{2}}
\end{align*}
$$
我尝试通分整理，但得到的式子太复杂了，完全没法解，只能再次放弃。

我真的很感谢任何帮助、纠正或者建议！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1103878