关于$e^{1/z}$在$z=0$处Essential singularity的Casorati–Weierstrass定理结论直接验证方法的问询

嘿，这个问题问得特别有意思！其实我们完全可以直接构造出符合要求的序列$z_k$，不用先去证明Casorati–Weierstrass定理，思路还挺直观的，分两种情况来看就行：

• 当$W \neq 0$时：
  我们的目标是找到$z_k \to 0$，使得$e^{1/z_k} \to W$。对于非零复数$W$，我们可以取它的一个复对数分支$\log W = \ln|W| + i(\arg W + 2\pi n)$（$n$为整数）。那我们直接构造序列：
  $$z_k = \frac{1}{\ln|W| + i(\arg W + 2\pi k)}$$
  当$k \to \infty$时，$z_k$的模是$\frac{1}{\sqrt{(\ln|W|)^2 + (\arg W + 2\pi k)^{2}}$，显然趋向于0；同时$e}{1/z_k} = e^{\ln|W| + i(\arg W + 2\pi k)} = |W|e^{i\arg W} = W$，自然满足$e^{1/z_k} \to W$。

• 当$W = 0$时：
  这时候要让$e^{1/z_k} \to 0$，只需要$1/z_k$的实部趋向于负无穷就行。最简单的构造就是取$z_k = -\frac{1}{k}$（$k$为正整数），当$k \to \infty$时，$z_k \to 0$，而$e^{1/z_k} = e^{-k}$，显然趋向于0。

你看，这样直接构造具体序列的方式是不是很优雅？完全绕开了定理证明的框架，直接把结论的存在性变成了可构造的实例~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user39082