无需素数定理，用黎曼求和证明1到N的数的平均正除数个数A(N)近似为log(N)且误差有界为1的入门引导请求

先提前说一下哈，为了能彻底搞懂这个问题，我不想用到素数定理的任何结论（其实连素因数分解都不想用）。

目前我打算主要用黎曼求和来做。我已经明确知道$A(N) = \sum\limits_{i = 1}^{N} \sigma_0(i)$，但在把这个求和转换成黎曼求和，再近似成$\log(N)$的时候卡壳了（可能我得先复习下黎曼求和的基础知识）。

有没有大佬能带我入门，给我指个开始的方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者codeing_monkey