关于环映射下右B-模M与M_A⊗_A B同构的充要条件及相关验证的技术问询

我最近在研究环映射与模的限制、张量积相关的代数问题，遇到了一个困惑，想和大家一起探讨：

给定环映射 $\varphi:A \to B$，$M$ 是一个右 $B$-模。通过沿着 $\varphi$ 做限制，我们可以得到一个右 $A$-模 $M_A$，其中 $A$-乘法的定义是 $m \cdot a := m \cdot \varphi(a)$。令 $N:= M_A \otimes_A B$，根据构造 $N$ 自然是一个右 $B$-模。

我的核心问题是：

有没有已知的关于环 $A$ 和 $B$ 的充要条件，能保证作为右 $B$-模有 $M \cong N$？

我自己先观察到了一个特殊情形：如果 $\varphi:A \to B:=A/I$ 是环 $A$ 关于某个理想 $I$ 的商映射，那么 $M_A$ 并没有“丢失”原本的 $B$-模结构，此时确实有 $M \cong N$ 成立。

这让我产生了一个猜想：这是不是唯一满足条件的情况？

我的直觉告诉我这应该是充要条件，因为感觉如果 $\varphi$ 不是满射的话，$M_A \otimes_A B$ 会“丢失”$M$ 中那些不在 $\varphi(A)$ 里的 $B$ 元素的作用，但我一直没能想到严格的证明思路，想请教一下各位大佬。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user267839