连通一维CW复形高阶同伦群平凡性的证明求助

哈哈，教授说的“很简单”确实有点事后诸葛亮那味儿，但你选胞腔逼近定理的路子完全没错，只是可能没戳中那个关键的点！我给你捋两种直观的证明思路，你看哪种更顺手：

方法一：胞腔逼近定理直接推导 #

首先明确：连通的一维CW复形本质上就是图，而且它同伦等价于若干个圆周的楔和（把图里的一棵极大树收缩成单点，剩下的每条边就对应一个圆周）。

对于任意$n \ge 2$，取连续映射$f: S^n \to X$，我们要证明$f$是零伦的：

• 根据胞腔逼近定理，$f$同伦于一个胞腔映射$g: S^n \to X$，即$g$会把$S^n$的$k$维骨架映射到$X$的$k$维骨架，对所有$k$成立。
• 回忆$S^{n$的CW结构：它由一个0维胞腔（单点）和一个$n$维胞腔组成，所以$S}n$的$k$维骨架当$k < n$时就是那个单点，$k = n$时是整个球面。
• 而$X$是一维CW复形，它的$k$维骨架当$k \ge 1$时就是$X$本身，$k=0$时是顶点集。
• 现在关键来了：$n \ge 2$时，$S^{n$的边界（也就是$S}{n-1}$，维度$\ge 1$）到$X$的映射是零伦的——因为$X$是一维空间，高维球面到一维空间的连续像必然可以收缩到一个单点（你可以把$X$的每条边看成区间，区间是可缩的，所以映射到区间的高维球面肯定能缩成点）。
• 既然$g$在$S^{{n-1}$上的映射可以同伦到单点，那我们就能把$g$延拓成从$n$维圆盘$D}n$到$X$的映射（$D^n$是可缩的），这就说明$g$是零伦的，进而$f$也是零伦的。所以$\pi_n(X) = 0$。

方法二：利用万有覆盖的性质 #

这个方法更简洁：

• 连通一维CW复形$X$的万有覆盖空间$\tilde{X}$是树——因为$X$的基本群是自由群，万有覆盖是单连通的一维CW复形，而单连通的一维CW复形只能是树（没有环的连通图）。
• 树是可缩空间，所以$\pi_n(\tilde{X}) = 0$对所有$n \ge 1$都成立。
• 再看覆盖空间的同伦正合序列：
  $$\dots \to \pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(X) \to \pi_{n-1}(\pi_1(X)) \to \pi_{n-1}(\tilde{X}) \to \dots$$
  其中$\pi_1(X)$是离散的自由群，离散群的高阶同伦群$\pi_k(G) = 0$对所有$k \ge 1$成立。
• 代入$n \ge 2$：$\pi_n(\tilde{X}) = 0$，$\pi_{n-1}(\tilde{X}) = 0$，$\pi_{n-1}(\pi_1(X)) = 0$，从正合序列直接就能推出$\pi_n(X) = 0$。

其实两种方法核心都是利用一维空间的“低维性”，高维球面没法在一维空间里造出非平凡的同伦，教授说的“简单”大概就是指这个核心逻辑~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stranger