关于ℝⁿ中任意范数下最优传输映射的形式、符号含义及相关文献的问询
我最近在Villani的经典著作《Optimal Transport, Old and New》最后一页看到这样一个结论：
设$N=\Vert\cdot\Vert$是$\mathbb{R}^n$上的一致光滑凸范数（即存在$\lambda,\Lambda>0$使得$\lambda I_n\leq\nabla2N2\leq\Lambda I_n$）。给定两个关于Lebesgue测度紧支撑且绝对连续的测度，存在唯一的最优传输映射：
$$T(x)=x-\nabla(N2)*(-\nabla\psi(x)),\qquad\psi\mbox{ 是一个$c$-凹函数}.$$
针对这个结论，我有几个疑问想请教：
1. 符号$\nabla(N2)*$的含义
这里的$(\cdot)*$指的是**Legendre-Fenchel共轭（Legendre变换）**，在凸分析中，函数$f:\mathbb{R}n\to\mathbb{R}\cup{+\infty}$的共轭定义为：
$$f*(y)=\sup_{x\in\mathbb{R}n}{x\cdot y - f(x)}$$
因为$N2$是一致光滑强凸的（题目中给出了Hessian的上下界），所以它的Legendre共轭$(N2)*$同样是光滑强凸函数，$\nabla(N2)*$就是这个共轭函数的**普通欧氏梯度**，并非协变微分——毕竟我们是在欧氏空间$\mathbb{R}n$中讨论，梯度就是标准的偏导数组成的向量，所以$\nabla(N2)*(-\nabla\psi(x))$自然是$\mathbb{R}^n$中的向量，完全符合逻辑。
额外补充：由于$N2$的梯度是双射（强凸光滑函数的梯度可逆），$\nabla(N2)^*$其实就是$(\nabla N2){-1}$——也就是$\nabla N^2$的逆映射，这是凸分析中的经典结论：Legendre变换的梯度是原函数梯度的逆。
2. 与流形上$\exp_x(-\nabla\psi(x))$形式的对应关系
你观察得非常准确：这个$T(x)$的形式确实是流形上最优传输映射$\exp_x(-\nabla\psi(x))$在**Finsler空间（由范数$N$诱导）**下的欧氏版本。
在黎曼流形中，$\exp_x(v)$是将切向量$v$从点$x$出发“指数映射”到流形上的对应点；而在由一致光滑凸范数$N$诱导的Finsler结构下，$\mathbb{R}^n$本身可以看作一个Finsler流形，此时$Id - \nabla(N2)*$就扮演了类似指数映射的角色——它把切向量$-\nabla\psi(x)$“转化”为从$x$出发的位移，最终得到最优传输后的点$T(x)$。当$N$是欧氏范数时，这个形式会简化为我们熟悉的欧氏空间最优传输映射（你可以自己代入欧氏范数验证一下，会得到符合直觉的结果）。
3. 相关文献推荐
如果你需要更明确的结论陈述或推导，推荐以下资料：
- Villani的书本身：虽然这个结论在最后一页，但前面的第10章（关于Monge问题在非欧氏空间的推广）和第5章（凸代价下的最优传输）其实铺垫了相关理论，回头梳理这些章节的内容，能找到这个映射形式的推导脉络。
- Figalli的《Optimal Transport for Applied Mathematicians》：这本书面向应用数学研究者，专门用章节讨论了非欧氏范数下的最优传输，其中明确陈述了这类最优映射的形式，并给出了更简洁的推导。
- Ambrosio, Gigli, Savaré的《Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures》：这本书在度量空间下的最优传输框架中，涵盖了Finsler空间的情形，你可以在相关章节找到这个结论的更一般化表述。
- McCann的早期论文：比如《A convexity principle for interacting gases》，他是研究凸代价下最优传输的先驱之一，论文中详细讨论了这类梯度型最优映射的构造，其中就包含了范数诱导代价的情形。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathemachicken
