关于通过正弦映射定义分数阶导数的若干技术疑问
我基于正弦函数的n阶导数特性，推导了一个支持n连续变化的导数表达式，具体过程如下：
对于整数n，我们有正弦函数的n阶导数公式：
$$\frac{dn}{dxn} \sin(x) = \sin\left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$$
暂时忽略定义域限制，对任意函数$f(x)$做如下变量替换：
$$f(x) = \sin(u) \ \ [1]$$
$$u = \arcsin\left(f(x)\right) \ \ [2]$$
对[1]式两边关于u求n阶导数，代入正弦函数的n阶导数公式后可得：
$$\frac{dn}{dun} f(x) = \frac{dn}{dun} \sin(u) = \sin\left(u+\frac{n \pi}{2}\right)$$
接下来我们推导变量u和x的微分关系：
由$f'(x) \ dx = \cos(u) \ du$，可以解出：
$$du = \frac{f'(x)}{\cos(u)} \ dx = \frac{f'(x)}{\cos\left(\arcsin(f(x))\right)} \ dx = \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \ dx $$
将导数的变量从u转换回x，可得：
$$\frac{dn}{dun} f(x) = \left(\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)2}}\right){-n} \frac{dn}{dxn} f(x)$$
最后结合[2]式，整理得到仅关于x和n的n阶导数表达式：
$$\frac{dn}{dxn} f(x) = \sin\left(\arcsin\left(f(x)\right)+\frac{n \pi}{2}\right) \left(\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)2}}\right){n}$$
这个表达式的核心优势是允许n取连续值，实现分数阶导数的插值，但它有个硬性限制：必须满足$|f(x)| < 1$，因此无法直接适用于所有函数。我制作了一个Desmos交互图，输入不同的$f$函数就能直观看到它在原函数（n=0）和一阶导数（n=1）之间的插值效果。
我目前有几个疑问想请教：
- 为什么部分函数在n从0到1变化时，原函数和导数之间没有平滑过渡？比如输入$f = x^{x}$时，图像左半部分会来回翻转，这是不是因为幂指函数的定义域问题导致的？
- 如何扩展这个表达式的适用定义域？我尝试过用$f(x) \to f(x - c)$的平移变换，让插值中心偏离0点，但还是不知道怎么处理$|f(x)| \geq 1$的函数。
- 只要满足$|f(x)| < 1$，这个表达式对整数n来说是不是完全精确的？看起来似乎存在微小误差，但我不确定这是数值计算的精度问题，还是函数定义域相关的内在问题导致的。
- 有没有类似的研究思路已经被前人探索过？我希望能找到相关的现有文献参考。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者O.S.
