≥4色Hackenbush中添加彩虹棋盘是否最终会稳定基本类型？

先跟大家唠唠这个问题的来龙去脉：它是从更早的数学讨论问题延伸出来的，之前有人说已有答案，但细节太模糊，我就把问题梳理清楚来请教。

首先得明确几个核心概念，不然没法聊明白：

• p棋盘：对于自然数$p\ge4$，p棋盘是由$[p]=\{1,2,...,p\}$中有限字符串组成的有限形式和（看成多重集合也没问题）。这里的“颜色”就是$[p]$里的元素，每个颜色对应一名玩家。
• 合法移动：对于玩家$i\in[p]$和棋盘$B$，合法操作是把$B$里的某个字符串$\sigma$替换成字符串$\tau$，满足$\tau i\preccurlyeq\sigma$（直白点说，就是在$\tau$后面加上$i$能成为$\sigma$的前缀）。
• 基本类型：棋盘$B$的基本类型$bt(B)$是所有满足以下条件的对$(x,A)$的集合：$x\in[p]$，$A$是$[p]$的非空真子集，并且存在一组策略$\pi_a$（每个$a\in A$对应一个策略），只要玩家们遵循这些策略，当玩家$x$先手、之后按循环顺序移动时，最先无法移动的玩家一定不在$A$里。直观来讲就是：如果$x$先开局，$A$队的玩家能保证自己这边没人最先输掉。

接下来定义彩虹棋盘：${\bf z}_p = \langle1\rangle+\langle2\rangle+...+\langle p\rangle$，就是包含p个单颜色字符串的棋盘，每个颜色各一个。

有意思的是，和两色版本不同，添加${\bf z}_p$不一定会保留棋盘的基本类型。但我好奇的是：是不是添加足够多次之后，基本类型就稳定下来了？

具体问题表述：固定$p\ge4$，对于任意棋盘$B$，是否一定存在自然数$k$，使得只要$m,n\ge k$，就有$bt(B+m{\bf z}_p)=bt(B+n{\bf z}_p)$？（这里$aC$表示把棋盘$C$重复叠加$a$次）

为了让大家理解为什么限定$p\ge4$，先说说$p=2$和$p=3$的情况：

• 当$p=2$时，就是经典的红蓝Hackenbush，添加${\bf z}_p$完全不会改变棋盘的基本类型。
• 当$p=3$时，情况就不一样了——比如对比$\langle123\rangle$和$\langle123\rangle+{\bf z}_3$，如果玩家1和2组队、1先手，结果会有明显差异。但这时候情况还不算复杂：添加${\bf z}_p$只会让“除了某一个玩家之外的所有人组成的联盟”处境更好，而$p\le3$时所有可能的非空真子集联盟都是这种类型。

但$p\ge4$的时候，情况就复杂多了——比如考虑联盟$A=\{1,3\}$这种既不是单人、也不是“除一人外所有人”的情况。不过目前我还没找到一个p棋盘$B$，使得它的“基本类型序列”$\mathfrak{Z}(B):=\langle bt(B+k{\bf z}_p)\rangle_{k\in\mathbb{N}}$变化超过一次，说不定最终情况和$p=3$其实差不多？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Noah Schweber