$\mathbb{C}[x,y]$中理想交的反向包含关系是否成立的问询

嘿，这个问题提得特别好——先给你一个明确的结论：是的，这个反向包含关系完全成立，而且不需要额外假设$(p_i,q)$是根理想，只要$p_1,p_2$在$\mathbb{C}[x,y]$中互素（也就是没有非常数公因子）就足够了。下面我给你补全那个你想要的严谨代数论证：

取任意元素$r\in(p_1,q)\cap(p_2,q)$，根据理想的定义，我们能得到两个表达式：

• 存在$a,b\in\mathbb{C}[x,y]$，使得$r = a p_1 + b q$；
• 存在$c,d\in\mathbb{C}[x,y]$，使得$r = c p_2 + d q$。

把这两个等式联立，移项整理后得到：
$$a p_1 - c p_2 = (d - b) q$$

现在利用$\mathbb{C}[x,y]$是UFD（唯一分解整环）的性质：因为$p_1,p_2$互素，$p_2$整除右边的$(d - b)q$，就意味着$p_2$必须整除$(d - b)$（毕竟$p_2$和$p_1$没有公共素因子，不可能整除$p_1$）。我们设$d - b = e p_2$（其中$e\in\mathbb{C}[x,y]$），代入$d$的表达式得$d = b + e p_2$。

把$d$的表达式代回$r = c p_2 + d q$中，展开后：
$$r = c p_2 + (b + e p_2) q = b q + p_2 (c + e q)$$

再结合$r = a p_1 + b q$，我们可以得到：
$$a p_1 = p_2 (c + e q)$$

同样，因为$p_1,p_2$互素，$p_1$整除右边的$p_2(c + e q)$，就说明$p_1$必须整除$(c + e q)$。设$c + e q = f p_1$（其中$f\in\mathbb{C}[x,y]$），再代回$r$的表达式：
$$r = b q + p_2 \cdot f p_1 = f p_1 p_2 + b q$$

这就清晰地说明$r$可以写成$p_1 p_2$的倍数加上$q$的倍数，也就是$r\in(p_1 p_2, q)$。由此反向包含$(p_1,q)\cap(p_2,q)\subset(p_1 p_2, q)$得证。

你提到的scheme层面的直观其实和这个代数结论完全对应：集合等式$(V(p_1)\cap V(q))\cup (V(p_2)\cap V(q))=(V(p_1)\cup V(p_2))\cap V(q)$是对的，而代数上理想的交对应scheme的并，理想的和对应scheme的交——$(p_1,q)\cap(p_2,q)$对应$V(p_1,q)\cup V(p_2,q)$，$(p_1 p_2, q)$对应$V(p_1 p_2)\cap V(q)=(V(p_1)\cup V(p_2))\cap V(q)$，这两个几何对象相等，自然对应的理想也相等（加上你已经知道的正向包含，就得到了理想等式）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam