关于紧致性定理在无限全序集非有限公理化证明中应用的疑问

我最近在梳理老师给出的一道逻辑题的解答，核心问题是证明所有无限全序集构成的集合不是有限可公理化的，但其中用到紧致性定理的一步推导我始终没弄明白，想请教大家。

问题与老师的证明思路 #

要证的结论：所有无限全序集 $A$ 构成的集合不是有限可公理化的。

老师的证明步骤如下：

• 首先定义句子集 $\Sigma$，用来表达“集合是全序集”这一性质；
• 接着定义句子集 $\Gamma = {\gamma_1, \gamma_2, ...}$，其中每个 $\gamma_n$ 的含义是“该集合至少有 $n$ 个元素”；
• 由此，所有无限全序集的集合可以表示为 $\text{Mod}(\Sigma \cup \Gamma)$，也就是满足 $\Sigma \cup \Gamma$ 中所有句子的模型类。

随后老师做了反证假设：假设这个集合是有限可公理化的，即存在单个句子 $\psi$，使得 $\text{Mod}(\Sigma \cup \Gamma) = \text{Mod}(\psi)$。

从这个假设可以推出：$\Sigma \cup \Gamma \models \psi$（意思是所有满足 $\Sigma \cup \Gamma$ 的模型都满足 $\psi$）。

关键的一步来了——老师说根据紧致性定理，存在有限子集 $\Gamma_0 \subset \Gamma$，使得 $\Sigma \cup \Gamma_0 \models \psi$。

我的困惑 #

我们课堂上学到的紧致性定理有两个核心表述：

1. 设 $\Sigma \cup {\phi}$ 是一阶语言 $\mathcal{L}$ 中的公式集，则 $\Sigma \models \phi$ 当且仅当存在有限子集 $\Sigma_0 \subseteq \Sigma$，使得 $\Sigma_0 \models \phi$；
2. 一个公式集 $\Sigma$ 有模型当且仅当它的每个有限子集都有模型。

我猜测老师用的是第一个表述，但我想不通的是：第一个表述只保证存在某个有限子集 $\Sigma_0 \subseteq \Sigma \cup \Gamma$ 使得 $\Sigma_0 \models \psi$，但为什么这个有限子集一定是完整保留 $\Sigma$，只取 $\Gamma$ 的一个有限子集 $\Gamma_0$，而不是从 $\Sigma$ 里也去掉一部分，变成 $\Sigma_0 \cup \Gamma_0$（其中 $\Sigma_0 \subset \Sigma$ 有限，$\Gamma_0 \subset \Gamma$ 有限）呢？我们没法控制从 $\Sigma \cup \Gamma$ 中删除哪些公式，老师是怎么直接得出可以保留整个 $\Sigma$ 的结论的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eduardo Magalhães