关于是否存在集合𝕏使其幂集ℙ(𝕏)基数为ℵ₀的求证及个人思路验证

你好！你的结论是正确的——不存在这样的集合$\mathbb{X}$，不过你的思路里有一个小细节需要纠正，下面我来详细梳理整个证明过程和你的思路问题：

核心结论与严格证明 #

我们可以通过康托尔定理和基数的基本性质来完成证明：

1. 康托尔定理的核心依据：对于任意集合$\mathbb{X}$，其幂集$\mathcal{P}(\mathbb{X})$的基数严格大于原集合$\mathbb{X}$的基数，即$|\mathcal{P}(\mathbb{X})| > |\mathbb{X}|$。
2. 分情况讨论验证：
   • 情况1：$\mathbb{X}$是有限集
     设$\mathbb{X}$的基数为$n$（$n$为自然数），那么幂集的基数为$2^n$，这是一个有限数，显然不等于可数无限的基数$\aleph_0$。
   • 情况2：$\mathbb{X}$是无限集
     无限集的基数至少为$\aleph_0$，根据康托尔定理，$|\mathcal{P}(\mathbb{X})| = 2^{|\mathbb{X}|} \geq 2^{{\aleph_0}$。而$2}{\aleph_0}$是严格大于$\aleph_0$的（这是康托尔定理直接推导的结果，无需依赖额外假设），因此幂集的基数必然大于$\aleph_0$，不可能等于$\aleph_0$。

综上，无论$\mathbb{X}$是有限集还是无限集，都无法满足$|\mathcal{P}(\mathbb{X})| = \aleph_0$，因此不存在这样的集合。

对你思路的纠正与补充 #

你的结论没问题，但其中提到的“$2^{\aleph_0} = \aleph_1$”是需要注意的点：

• 这个等式是**连续统假设（CH）**的内容，它断言不存在基数介于$\aleph_0$和$2^{{\aleph_0}$之间的集合。但连续统假设是独立于ZFC公理系统的——也就是说，它既不能被ZFC证明，也不能被ZFC证伪。所以我们不能默认$2}{\aleph_0}$等于$\aleph_1$，不过这一点不影响你的最终结论，因为不管$2^{\aleph_0}$具体等于哪个基数，它都肯定是严格大于$\aleph_0$的，所以自然数集的幂集基数不可能是$\aleph_0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter