氮原子基态自旋角动量大小与z轴夹角的测量结果求解

咱们来一步步分析这个问题：已知氮原子在基态时的自旋量子数$s=3/2$，要找出自旋角动量的大小，以及它与给定z轴夹角的所有可能测量结果。

一、自旋角动量的大小 #

自旋角动量的模长可以通过量子力学的标准公式计算（默认使用$\hbar=1$的自然单位制）：
$$
|\boldsymbol{s}| = \sqrt{s(s+1)}
$$

代入$s=3/2$进行计算：
$$
|\boldsymbol{s}| = \sqrt{\frac{3}{2} \times \left(\frac{3}{2} + 1\right)} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}
$$

二、自旋角动量在z轴上的投影（$m_z$）的可能值 #

对于自旋量子数为$s$的粒子，自旋z分量的量子数$m_z$的取值范围是从$-s$到$s$，每次间隔1。所以针对$s=3/2$，可能的$m_z$值有：

• $m_z = -\frac{3}{2}$
• $m_z = -\frac{1}{2}$
• $m_z = \frac{1}{2}$
• $m_z = \frac{3}{2}$

三、与z轴的夹角$\theta$的计算 #

自旋角动量与z轴的夹角可以通过投影值和模长的关系推导，公式为：
$$
\theta = \cos^{-1}\left( \frac{m_z}{|\boldsymbol{s}|} \right)
$$

对应每个$m_z$的取值，咱们可以算出对应的夹角：

1. 当$m_z = -\frac{3}{2}$时：
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left( -\frac{3/2}{\sqrt{15}/2} \right) = \cos^{-1}\left( -\frac{3}{\sqrt{15}} \right)
   $$
2. 当$m_z = -\frac{1}{2}$时：
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left( -\frac{1/2}{\sqrt{15}/2} \right) = \cos^{-1}\left( -\frac{1}{\sqrt{15}} \right)
   $$
3. 当$m_z = \frac{1}{2}$时：
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left( \frac{1/2}{\sqrt{15}/2} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{15}} \right)
   $$
4. 当$m_z = \frac{3}{2}$时：
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left( \frac{3/2}{\sqrt{15}/2} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{15}} \right)
   $$

注意：夹角$\theta$在0°到180°之间是唯一的，但如果考虑绕z轴的旋转方位角，会存在360°范围内的多个可能值，具体取决于参考系的选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elisa Johnsson