关于域扩张次数[K(X):K(Xⁿ)]=n的基证明疑问

嘿，我来帮你把这个基的证明理清楚，咱们分线性独立性和张成性两部分来聊～

线性独立性的证明（解决你卡住的部分） #

假设存在$a_0, a_1, \dots, a_{n-1} \in K(X^n)$，使得：

$a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_{n-1}X^{n-1} = 0$（这里的0是$K(X)$中的零元）

首先，每个$a_i$都是$K(X^{n)$里的有理函数，所以可以写成$\frac{f_i(X}n)}{g_i(X^n)}$，其中$f_i, g_i$是$K$上的多项式，且$g_i(X^n) \neq 0$。我们找一个公分母$G(X^n) = \prod_{i=0}^{n-1}g_i(Xn)$，把等式两边乘$G(X^n)$，这样左边就变成了$K[X]$中的多项式：

$G(X^n)a_0 + G(X^n)a_1 X + \dots + G(X^n)a_{n-1}X{n-1} = 0$

注意到$G(X^n)a_i = f_i(X^n) \cdot \prod_{j \neq i}g_j(X^n)$，这是一个只含$X$的倍数次幂（即次数为$qn, q \in \mathbb{N}$）的多项式。现在把左边的多项式按$X$的次数模$n$分组：

• 对于任意次数$k = qn + r$（$0 \leq r < n$），只有第$r$项$G(X^n)a_r X^{r$会贡献$X}{k}$的系数。

因为左边是零多项式，所有次数的系数都必须为0，所以对于每个$r$（$0 \leq r < n$），$G(X^{n)a_r$作为多项式必须是零。而$G(X}n) \neq 0$，所以只能$a_r = 0$。这样就证明了${1, X, \dots, X^{n-1}}$是线性无关的。

张成性的证明（解决你的困惑） #

其实张成性可以从两个角度看，都很清晰：

1. 多项式分解角度：
   任取$y \in K(X)$，先把$y$写成$\frac{F(X)}{G(X)}$，其中$F, G$是$K[X]$中的多项式，$G \neq 0$。对于分子$F(X)$，我们可以把它按$X$的幂次模$n$拆分：

$F(X) = F_0(X^n) + F_1(X^n)X + \dots + F_{n-1}(X^n)X{n-1}$
这里每个$F_r(X^n)$是$K[Xn]$中的多项式（比如把$F$中所有次数$\equiv r \mod n$的项提出来，就是$X^{r$乘以一个仅含$X}n$的多项式）。

接下来，因为$K(X) = K(X^{n)(X)$，分母$G(X)$在$K(X}n)$中是可逆的（域中非零元都可逆），所以$\frac{F(X)}{G(X)}$可以拆成：
$\frac{F_0(X^n)}{G(X)} + \frac{F_1(X^n)}{G(X)}X + \dots + \frac{F_{n-1}(X^n)}{G(X)}X{n-1}$
这里每个$\frac{F_r(X^{n)}{G(X)}$都是$K(X}n)$中的元素，这就直接证明了张成性。

2. 次数推导角度：
   我们已经找到了$n$个线性无关的元素，所以域扩张的次数$[K(X):K(X^n)] \geq n$。同时，$X$是$K(X^{n)[t]$中$n$次多项式$t}n - X^{n$的根，所以扩张次数又不超过$n$。因此$[K(X):K(X}n)] = n$，而这$n$个线性无关的元素自然构成基，张成性也就自动成立了。

这样是不是就把两个部分都理清楚啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Toasted_Brain