关于复数域中同时对加法和乘法封闭的Automorphism-killing subset的技术问询

各位大佬好，先跟大家分享下我目前的研究进展，再请教一个问题：

我们都知道复数域$\mathbb{C}$存在狂野自同构，而一旦给$\mathbb{C}$赋予标准拓扑，这些不连续的狂野自同构就都被排除了。我利用这个性质做了两个小证明：

• 任何非平凡的$\mathbb{C}$域自同构都无法保持正虚部复数的集合（这里的“保持”指自同构作用在该子集上的像完全等于子集本身），而这个子集是对加法封闭的；
• 另外，任何非平凡的$\mathbb{C}$域自同构也没法保持这样一个集合：以原点为中心、半径$0.5$的半圆弧，加上以原点为中心、半径$0.25$的实心圆，这个子集是对乘法封闭的。

现在我卡在了一个问题上：有没有这样的复数子集——它同时对加法和乘法封闭，并且能成为“自同构杀手”？也就是说，不存在任何非平凡的$\mathbb{C}$域自同构可以保持这个子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathlander