表面散度项展开推导的正确性验证及疑问求助

各位大佬好，我在推导一个更复杂的公式时，需要先证明以下等式：

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=\nabla}\sigma\gamma^{wn}-N\gamma{wn}(\nabla^\sigma.N)$$

先明确一下符号定义：

• $N$：界面的单位法向量
• $\gamma^{wn}$：标量
• 表面散度算子：$\nabla^\sigma=\nabla-NN.\nabla$
• 投影表面单位张量：$I^\sigma=I-NN$

以下是我的推导尝试：

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=\gamma}{wn}\nabla^\sigma.I\sigma+I^{\sigma.\nabla}\sigma\gamma^{wn}$$

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=(I-NN).\nabla}\sigma\gamma^{wn}+\gamma{wn}\nabla^\sigma.(I-NN)$$

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=I.\nabla}\sigma\gamma^{{wn}-NN.\nabla}\sigma\gamma^{wn}+\gamma{wn}(\nabla^{\sigma.I-\nabla}\sigma.NN)$$

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=\nabla}\sigma\gamma^{{wn}-(N.\nabla\gamma}{wn})N-\gamma^{wn}\nabla\sigma.NN$$

$$\nabla^{\sigma.(\gamma}{wn}I^{\sigma)=\nabla}\sigma\gamma^{{wn}-(N.\nabla\gamma}{wn})N-\gamma^{{wn}(\nabla.N)N-\gamma}{wn}(N.\nabla{N})$$

按照目标等式，我只需要右边的第一项和整理后的最后一项，但现在推导结果多了两个额外的项。我不确定自己的推导步骤哪里出了问题，或者有没有忽略什么张量分析里的关键恒等式/性质，希望各位能帮忙指点一下，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yds1798