非对称收益猜谜游戏的最优搜索策略及扩展问题

嗨，这个问题看起来简单，但关键是要先明确收益的计算逻辑——首先我们确认核心前提：两个房间的钻石都真实存在，你搜索到的所有钻石都能计入收益，且总搜索次数固定为15次，先搜A再搜B。

原问题分析（1x vs 2x） #

我们先定义变量：设你在Room A搜索k个花瓶，那么Room B就能搜索15 - k个花瓶（0 ≤ k ≤ 15）。

根据期望收益的线性性（不管事件是否独立，期望的和等于和的期望），我们可以分别计算找到A、B钻石的期望收益，再相加得到总期望：

• 找到A钻石的概率是k/15，对应收益1x，这部分期望是 (k/15) * x
• 找到B钻石的概率是(15 - k)/15，对应收益2x，这部分期望是 ((15 - k)/15) * 2x

总期望收益E为：

E = (k/15)x + ((15 - k)/15)*2x

化简后得到：

E = (30 - k)x / 15 = x*(2 - k/15)

从这个式子能明显看出：k越小，总期望收益越高。当k=0时，也就是把15次搜索全部分配给Room B，期望收益达到最大值2x；当k=15时，只搜Room A，期望收益只有x。

为什么会这样？因为B钻石的价值是A的2倍，每多搜一次A，就少一次搜B的机会，而损失的B钻石期望收益（2x/15）远大于获得的A钻石期望收益（x/15），所以最优策略就是放弃搜索A，全力搜索B。

扩展到更大价值差的情况（比如1x vs 3x） #

我们把B钻石的价值换成Vb*x（Vb > 1），A钻石价值保持1x，同样设搜A的数量为k，搜B的数量为15 - k。

总期望收益E变为：

E = (k/15)x + ((15 - k)/15)*Vb*x

化简后：

E = [k + Vb*(15 - k)]x /15 = [15Vb + k*(1 - Vb)]x /15

因为Vb > 1，所以(1 - Vb)是负数，这意味着k越小，E越大。当k=0时，E=Vb*x，达到最大值；当k=15时，E=x，是最小值。

总结规律 #

只要Room B中钻石的价值高于Room A，最优策略永远是将所有搜索次数分配给价值更高的Room B，这样能最大化期望收益。因为每把一次搜索从B转移到A，都会导致期望收益减少 (Vb - 1)x/15，这是一个正数，所以转移次数越多，损失越大。

如果后续遇到多个房间、不同价值钻石的情况，核心逻辑依然不变：优先把所有搜索资源分配给单份价值最高的目标，直到该目标的所有可能位置都被覆盖，再考虑次高价值的目标。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TurleNOOB