求助证明李教授《光滑流形导论》第二版定理5.53(b)

我最近啃李教授《光滑流形导论》第二版的时候，卡在了定理5.53的(b)部分，想请教大家怎么突破这个卡点。先把相关背景理清楚：

• 这里的定理编号都是第二版的，定理5.53(b)是带边界嵌入子流形版本的定理5.29，标题是Restricting Maps to Submanifolds with Boundary，其中(b)部分的标签是Restricting the Codomain。它的陈述是：若有一个从带边界光滑流形$N$到无边界光滑流形$M$的光滑映射$F$，且$F$的像完全包含在带边界嵌入子流形$S$中，那么$F$作为从$N$到带边界子流形$S$的映射也是光滑的。
• 前面的定理5.51是带边界子流形版本的定理5.8，它把带边界子流形的切片条件和带边界嵌入子流形关联了起来，这部分我证明起来没什么问题。

李教授在定理5.53的前面写了一句：“用前面的定理代替定理5.8，就能轻易证明接下来的定理”，但我实在不敢苟同这个“轻易”……

我的证明思路是跟着定理5.8的模式走的：

1. 因为$S$是$n$维无边界光滑流形$M$的$k$维带边界嵌入子流形，所以带边界子流形的$k$-切片条件成立，再结合定理5.51，我们能得到$S$在$M$中的切片图$(W,\psi)$。
2. 令$V_0 = W \cap S$，再定义$\tilde{\psi} = \pi \circ \psi|_{V_0}$，其中$\pi \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$是到前$k$个坐标的投影映射。
3. 只要能证明$(V_0,\tilde{\psi})$是$S$的光滑图，后面的证明就能顺利推进了。

定理5.8里的这部分证明在勘误条目里（我觉得这个勘误本身还有好几处笔误），它证明了对任意$q \in V_0$，$d\tilde{\psi}_q$是可逆的。我不太喜欢勘误里的证明，自己捣鼓了一个，不管怎样这个结论我是认可的。但接下来就是卡壳的地方了：

李教授在定理5.8的证明里用了流形的逆函数定理（定理4.5）来证明$\tilde{\psi}$的限制是微分同胚（也就是局部微分同胚），但问题在于，定理4.5只适用于定义域和余定义域（除非映射的值都落在内部，这种情况余定义域的边界限制才不严格）都没有边界的情况。而在定理5.53的场景里，$V_0$继承了$S$的边界，定理4.5直接用不了。

定理5.8接下来的步骤是证明$\tilde{\psi}$确实是微分同胚，从而$(V_0,\tilde{\psi})$是$S$的光滑图。$\tilde{\psi}$的逆是什么我能看出来，但试了好多次都没法证明这个逆是光滑的。有没有大佬能给我指条路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jeff Rubin