柱坐标系下非齐次PDE求解疑问：齐次解正确性验证与特解求解方法
嗨，我来帮你一步步理清这个问题～
一、你的齐次解是对的！
首先要肯定你的结论：齐次解 (u_h=0) 是正确的，原因如下：
齐次方程是柱坐标下的拉普拉斯方程：
$$\frac{\partial^2 u_h}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u_h}{\partial r} + \frac{1}{r2}\frac{\partial2 u_h}{\partial \theta^2}=0$$
结合边界条件 (u_h(r,0)=u_h(r,\pi/2)=0) 和 (u_h(1,\theta)=0)，我们用分离变量法验证：
假设 (u_h(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta))，代入齐次方程分离变量后：
- (\theta) 方向的方程：(\Theta'' + n^2\Theta=0)，结合边界条件 (\Theta(0)=\Theta(\pi/2)=0)，解得特征值 (n=2k)（(k=1,2,\dots)），特征函数 (\Theta_k(\theta)=\sin(2k\theta))。
- (r) 方向的方程：(r^2R'' + rR' -n^2R=0)，其通解为 (R(r)=A r^n + B r^{-n})。由于 (r>0) 时解有界，故 (B=0)；再结合 (r=1) 时 (R(1)=0)，得 (A=0)。
因此所有分离变量的解系数都为0，齐次解只能是 (u_h=0)，你的判断完全正确。
二、特解的求解方法：特征函数展开法
由于直接假设和非齐次项 (r^2\sin\theta) 匹配的特解（比如 (u_p=R(r)\sin\theta)）无法满足 (\theta=\pi/2) 时的边界条件（此时 (u_p(r,\pi/2)=R(r)\neq0)），我们需要用特征函数展开法构造满足所有边界条件的特解，步骤如下：
1. 展开非齐次项到θ方向的特征函数级数
θ方向的特征函数是 (\sin(2n\theta))（(n=1,2,\dots)），先把非齐次项 (r^2\sin\theta) 展开为这个级数：
$$\sin\theta = \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(2n\theta)$$
其中系数 (a_n) 由傅里叶正弦级数公式计算：
$$a_n = \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} \sin\theta \sin(2n\theta)d\theta = \frac{8n(-1){n+1}}{\pi(4n2-1)}$$
因此非齐次项可写为：
$$r^2\sin\theta = r2\sum_{n=1}\infty a_n \sin(2n\theta)$$
2. 假设解的级数形式并代入PDE
设原方程的解为：
$$u(r,\theta) = \sum_{n=1}^\infty R_n(r)\sin(2n\theta)$$
代入原非齐次PDE，两边对比 (\sin(2n\theta)) 的系数，得到每个 (R_n(r)) 满足的常微分方程：
$$r^2R_n'' + rR_n' -4n^2R_n = a_n r^4$$
3. 求解每个R_n(r)的常微分方程
这是欧拉型变系数ODE，分两种情况讨论：
当 (n\neq2) 时：
齐次解为 (R_n^h(r)=C_n r^{2n} + D_n r^{-2n})，由于 (r\to0) 时解有界，故 (D_n=0)；
设特解 (R_n^p(r)=E_n r^4)，代入方程解得 (E_n=\frac{a_n}{4(4-n^2)})；
结合边界条件 (R_n(1)=0)，得 (C_n=-E_n)，因此：
$$R_n(r)=E_n(r^4 - r^{2n})$$当 (n=2) 时：
齐次解包含 (r^4) 项，特解需设为 (R_2^p(r)=E r^4\ln r)，代入方程解得 (E=\frac{a_2}{12})；
结合 (r\to0) 有界和 (R_2(1)=0)，得 (C_2=0)、(D_2=0)，因此：
$$R_2(r)=\frac{a_2}{12}r^4\ln r$$
4. 组合所有项得到最终解
把 (R_n(r)) 代入级数形式，就得到满足所有边界条件和PDE的解：
$$u(r,\theta) = \frac{a_2}{12}r^4\ln r \sin4\theta + \sum_{\substack{n=1\n\neq2}}^\infty \frac{a_n}{4(4-n2)}(r4 - r^{2n})\sin(2n\theta)$$
其中 (a_2=-\frac{16}{15\pi})，代入后即可得到具体表达式。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bar
