度量空间中函数在某点连续的邻域等价性证明的正确性验证及优化方法咨询

你的整体思路是正确的，但反向证明的表述存在一点模糊，咱们来逐一分析并给出优化建议：

一、原证明的正确性分析 #

正向推导（$\boldsymbol{(\Longrightarrow)}$） #

这部分逻辑完全没问题：

1. 由$N$是$f(x)$的邻域，根据邻域定义，存在$\varepsilon>0$使得开球$B_{\varepsilon}(f(x)) \subseteq N$；
2. 利用$f$在$x$点连续的$\varepsilon$-$\delta$定义，找到对应的$\delta>0$，使得所有满足$d_X(x,x')<\delta$的$x'$都有$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$，也就是$f(x') \in B_{\varepsilon}(f(x)) \subseteq N$；
3. 这就说明$B_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(N)$，满足$x$的邻域定义，推导成立。

反向推导（$\boldsymbol{(\Longleftarrow)}$） #

你的核心思路是对的，但表述不够严谨：
你说“存在(任意)球$B_{\varepsilon}(f(x))$和$B_{\delta}(x)$”这里逻辑有点混乱，正确的逻辑应该是主动构造邻域：
对于任意$\varepsilon>0$，取$N = B_{\varepsilon}(f(x))$——这显然是$f(x)$的一个邻域（因为它本身就是开球）；
根据条件，$f^{-1}(N)$是$x$的邻域，所以存在$\delta>0$使得$B_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(N)$；
这就意味着：只要$d_X(x,x')<\delta$，就有$x' \in f^{-1}(N)$，即$f(x') \in N = B_{\varepsilon}(f(x))$，也就是$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$，完美契合连续性的$\varepsilon$-$\delta$定义。

你原表述里的“任意的球”没有明确是我们主动选取的，容易让人误解逻辑顺序，修正后就严谨了。

二、优化后的简洁严谨证明 #

正向推导（$\boldsymbol{(\Longrightarrow)}$） #

假设$f$在$x \in X$处连续，任取$f(x)$的邻域$N$。
由邻域定义，存在$\varepsilon>0$使得$B_{\varepsilon}(f(x)) \subseteq N$。
根据$f$在$x$处的连续性，存在$\delta>0$，当$d_X(x,x')<\delta$时，$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$，即$f(x') \in B_{\varepsilon}(f(x)) \subseteq N$，因此$x' \in f^{-1}(N)$。
这说明$B_{\delta}(x) \subseteq f^{{-1}(N)$，故$f}{-1}(N)$是$x$的邻域。

反向推导（$\boldsymbol{(\Longleftarrow)}$） #

假设对$f(x)$的任意邻域$N$，$f^{-1}(N)$都是$x$的邻域。
任取$\varepsilon>0$，令$N = B_{\varepsilon}(f(x))$，显然$N$是$f(x)$的邻域。
根据条件，$f^{-1}(N)$是$x$的邻域，故存在$\delta>0$使得$B_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(N)$。
即当$d_X(x,x')<\delta$时，$x' \in f^{-1}(N)$，也就是$f(x') \in N$，即$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$。
由$\varepsilon$的任意性，$f$在$x$处连续。

这样的表述每一步逻辑衔接清晰，没有冗余，完全符合严谨性要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Borealis