关于参数化复合函数g'(t)连续性的判定问询
嘿，我来帮你把这个问题掰明白。先咱们把已知的背景再捋一遍：
我们有一个从$\mathbb{R}m$到$\mathbb{R}n$的映射 $f:\mathbb{R}m\rightarrow\mathbb{R}n$，还有一条参数化曲线 $t\mapsto a+tv$（这里$a$和$v$都是$\mathbb{R}^m$里的固定向量），然后定义复合函数 $g(t)=f(a+tv)$。根据链式法则，$g$的导数是 $g'(t)=f'(a+tv)v$。现在你疑惑的是：为什么只要$f$的偏导数存在且连续，就能保证$g'(t)$是连续函数？而且你已经理解了沿坐标轴方向的曲线情况，但对任意方向的参数化曲线拿不准，对吧？
那咱们一步步来拆解：
首先要记住一个关键结论：如果$f$的所有偏导数都存在且连续，那么$f$是**连续可微（$C1$）**的函数。这意味着$f$在每一点$x$处的导数$f'(x)$是一个从$\mathbb{R}m$到$\mathbb{R}^n$的线性变换（可以用一个$n\times m$的矩阵来表示，矩阵的元素就是$f$的各个偏导数），而且这个线性变换是随$x$连续变化的——换句话说，导数矩阵里的每一个元素（也就是$f$的偏导数）都是关于$x$的连续函数，所以整个矩阵作为“矩阵值函数”是连续的。
接下来看$g'(t)$：它其实是把连续变化的线性变换$f'(a+tv)$作用在固定向量$v$上的结果。我们可以把它拆成两个连续函数的复合：
- 第一个函数是$t\mapsto a+tv$：这是个简单的线性函数，显然关于$t$连续；
- 第二个函数是$x\mapsto f'(x)v$：对于这个函数，咱们可以看它的每个分量：假设$f=(f_1,f_2,...,f_n)$，那么$f'(x)v$的第$i$个分量是 $\sum_{k=1}^m \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \cdot v_k$。因为每个偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x)$都是连续的，$v_k$是固定常数，所以这个线性组合也是连续的；每个分量都连续，那整个向量值函数自然是连续的。
既然两个连续函数的复合还是连续函数，那$g'(t) = (x\mapsto f'(x)v) \circ (t\mapsto a+tv)$ 肯定也是连续的。
再结合你举的二元函数例子拓展一下：比如$f(x,y)$是二元函数，任意方向的参数化曲线是$a+tv=(x_0+tv_1, y_0+tv_2)$，那$g(t)=f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)$，它的导数就是 $g'(t)=v_1\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+tv_1,y_0+tv_2) + v_2\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+tv_1,y_0+tv_2)$。这里$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$都是连续函数，乘以固定常数$v_1,v_2$之后还是连续的，再和连续的$t$的函数（$x_0+tv_1$和$y_0+tv_2$）复合，整个表达式自然是关于$t$的连续函数——这就解释了为什么不管是沿坐标轴还是任意方向的参数化曲线，只要$f$的偏导数连续，$g'(t)$就连续。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者per persson
