如何利用施罗德-伯恩斯坦定理证明B-A与B等势？

嘿，我来帮你理清楚怎么用施罗德-伯恩斯坦定理搞定这个问题！咱们先把已知条件再明确一遍：

• $A \subseteq B$，$B-A$是无限集，$A$是可数集
• 我们的目标是用施罗德-伯恩斯坦定理（若$X \preceq Y$且$Y \preceq X$，则$X \sim Y$）证明$B-A \sim B$
• 你已经搞定了$B-A \preceq B$，这确实很显然——直接把$B-A$里的元素映射到它自己在$B$里的位置就行，肯定是单射。现在关键就是构造出从$B$到$B-A$的单射，也就是证明$B \preceq B-A$。

咱们一步步来：

1. 先抓无限集的性质：题目里定义无限集$X$是满足$\mathbb{N} \preceq X$的集合，换句话说，任何无限集都包含一个可数无限子集。因为$B-A$是无限集，那我们就能在$B-A$里找到这样一个可数无限子集，不妨叫它$C$。
2. 利用可数集的等势性：$A$是可数集，$C$也是可数无限集，所以$A$和$C$是等势的——也就是说存在一个双射$f: A \to C$（毕竟两个可数集之间总能找到一一对应）。
3. 构造单射$g: B \to B-A$：
   • 对于属于$A$的元素$x$，让$g(x) = f(x)$：这样就把$A$里的元素映射到$C$里，而$C$是$B-A$的子集，所以$g(x)$肯定在$B-A$里。
   • 对于属于$B-A$的元素$x$，让$g(x) = x$：也就是恒等映射，直接把元素映射到它自己。
4. 验证这个$g$是单射：
   • 如果$x_1, x_2$都在$A$里：因为$f$是双射（自然也是单射），所以$g(x_1)=g(x_2)$意味着$f(x_1)=f(x_2)$，从而$x_1=x_2$。
   • 如果$x_1, x_2$都在$B-A$里：$g(x_1)=x_1$，$g(x_2)=x_2$，所以$g(x_1)=g(x_2)$直接推出$x_1=x_2$。
   • 如果$x_1$在$A$，$x_2$在$B-A$：$g(x_1)=f(x_1) \in C$，$g(x_2)=x_2$。假设$g(x_1)=g(x_2)$，那$x_2=f(x_1) \in C$，但$f(x_1)$是$C$里的元素，对应着$A$里的$x_1$，而$A$和$B-A$是不交的，所以$x_1$和$x_2$不可能相等，这就说明这种情况下$g(x_1)$和$g(x_2)$不可能相等，不会破坏单射的性质。

这样一来，我们就证明了$B \preceq B-A$，结合你已经知道的$B-A \preceq B$，根据施罗德-伯恩斯坦定理，就可以得出$B-A \sim B$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者al2000