求有限线段上到指定点距离为给定半径r的点的更简便解法

嘿，其实不用联立圆和直线方程来解，用向量投影的思路会清爽很多，步骤也更直接，给你拆解一下：

首先先明确前提：假设我们要找线段AB（端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)）上的点Q，使得Q到圆心C(x₀,y₀)的距离等于r。

• 第一步，先算线段AB的基本参数：
  向量AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)，线段AB的长度 len_AB = sqrt((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)，如果len_AB是0（两点重合），那直接判断A点到C的距离是不是r就行。
  再算向量AC = (x₀ - x₁, y₀ - y₁)，也就是从A到圆心C的向量。

• 第二步，计算投影长度：
  把向量AC投影到AB上，得到投影长度 t_proj = (AC·AB) / len_AB，这里的·是向量点积（也就是(x₀-x₁)(x₂-x₁) + (y₀-y₁)(y₂-y₁)）。这个t_proj代表从A点出发，沿着AB方向走t_proj长度，就能到达C在AB上的投影点P。

• 第三步，判断圆和线段的位置关系：
  计算投影点P到C的距离 d = sqrt( |AC|² - t_proj² )，这里|AC|是向量AC的长度，也就是sqrt((x₀-x₁)² + (y₀-y₁)²)。

  • 如果d > r：圆和线段没有交点，直接返回空；
  • 如果d == r：投影点P就是唯一的交点，只要P在线段AB上（也就是t_proj在0到len_AB之间），就返回P；
  • 如果d < r：会有两个候选点，分别在P的两侧，距离P的长度是 delta = sqrt(r² - d²)。

• 第四步，计算候选点并验证是否在线段上：
  先算AB方向的单位向量 u = ( (x₂-x₁)/len_AB, (y₂-y₁)/len_AB )，然后两个候选点的坐标是：
  Q₁ = (x₁ + (t_proj + delta)*u.x, y₁ + (t_proj + delta)*u.y)
Q₂ = (x₁ + (t_proj - delta)*u.x, y₁ + (t_proj - delta)*u.y)
  最后检查这两个点的t值（也就是从A出发的长度，t = t_proj ± delta）是否在0到len_AB之间，符合的就是线段上的有效点。

如果你的需求是找线段上到某个端点距离为r的点，那更简单：直接从端点出发，沿着线段方向走r长度就行。比如从A出发，点的坐标就是 (x₁ + r*(x₂-x₁)/len_AB, y₁ + r*(y₂-y₁)/len_AB)，只要r ≤ len_AB，这个点就在线段上；如果r > len_AB，那要么是B点，要么没有符合要求的点（看你的实际需求）。

这种方法全程不用解二次方程，都是线性计算，比联立圆和直线方程要简洁不少~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mk3