11×11网格填1和-1时行与列乘积之和为0的可行性探讨

考虑一个11×11的网格，每个格子里填入数字1或者-1。计算每一行和每一列的乘积，再把这22个乘积相加，请问这个总和有没有可能等于0？

我最开始的思路是这样的：每一行或者每一列的乘积必然只能是1或者-1，毕竟都是1和-1相乘嘛。那要让22个这样的数加起来等于0，就必须刚好有11个乘积是1，剩下11个是-1——11个1加11个-1，总和刚好是0，这一步应该没问题。

接着我又想到：如果某一行（或列）里有奇数个-1，那这一行（或列）的乘积就是-1；如果是偶数个-1，乘积就是1。后来我还把填-1的格子染成黑色，填1的格子留空白，这样问题就转化成：能不能在11×11的网格里染色，使得刚好有11个行/列的染色格子数是奇数，剩下11个行/列的染色格子数是偶数？不过到这儿我就卡住了，不知道该怎么往下推。

其实这里藏着一个关键的奇偶性矛盾，咱们可以从计数的角度来破局：

• 先统计所有行里黑色格子（也就是-1）的总数，记为S。假设一共有k行的黑色格子数是奇数，那么S的奇偶性和k是一致的——因为奇数个奇数相加结果是奇数，偶数个奇数相加是偶数，再加上偶数的话不会改变整体的奇偶性。
• 再换个角度，统计所有列里黑色格子的总数，这其实还是S，毕竟每个黑色格子都属于某一行和某一列，总数不会变。假设一共有m列的黑色格子数是奇数，那S的奇偶性也和m一致。

现在咱们的要求是k + m = 11（因为总共需要11个乘积为-1的行/列，也就是k个行和m个列满足黑色格子数为奇数，两者加起来是11）。但11是奇数，这就意味着k和m一个是奇数、一个是偶数，它们的奇偶性不一样。可前面咱们得出S的奇偶性既等于k的奇偶性又等于m的奇偶性，这就出现了矛盾，根本不可能成立。

所以结论很明确：不可能让这个总和等于0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Martin Westin