范畴中态射对成为某态射对拉回的条件问询

咱们先明确问题核心：给定范畴里的两个态射 ( p: X \to A ) 和 ( q: X \to B )，想知道什么时候能找到态射 ( f: A \to C ) 和 ( g: B \to C )，让 ( (X, p, q) ) 成为 ( f ) 和 ( g ) 的拉回（也就是对应的交换图满足拉回的泛性质）。下面分一般范畴和常见特殊范畴来梳理实用条件：

一般范畴的必要条件 #

• 联合单态性：( p ) 和 ( q ) 必须是联合单态。意思是，对任意对象 ( Y ) 和任意两个态射 ( u, v: Y \to X )，如果 ( p \circ u = p \circ v ) 且 ( q \circ u = q \circ v )，那一定有 ( u = v )。这是拉回的基本属性——拉回对象的两个投影态射必然是联合单态，因为拉回的泛性质保证了满足投影相等的态射是唯一的。
• 交换性前提：必须存在某个对象 ( C ) 和态射 ( f: A \to C )、( g: B \to C )，使得 ( f \circ p = g \circ q )。这是拉回图交换性的直接要求，没有这个交换关系，连拉回图的基础结构都不成立。

一般范畴的等价刻画（充分必要） #

从函子表示的角度，结合米田引理来看：( (X, p, q) ) 是某对态射的拉回，当且仅当存在对象 ( C )，使得函子 ( \text{Hom}(-, X) ) 与函子 ( \text{Hom}(-, A) \times_{\text{Hom}(-, C)} \text{Hom}(-, B) ) 自然同构。
具体来说，对每个对象 ( Y )，( \text{Hom}(Y, X) ) 里的元素恰好对应 ( \text{Hom}(Y, A) \times \text{Hom}(Y, B) ) 中满足 ( f \circ a = g \circ b ) 的序对 ( (a, b) )。

特殊范畴中的具体条件 #

集合范畴（Set） #

在集合范畴里，条件非常直观：

• ( p ) 和 ( q ) 是联合单态（也就是映射 ( x \mapsto (p(x), q(x)) ) 是单射，( X ) 可以嵌入到 ( A \times B ) 中作为子集 ( R = {(p(x), q(x)) \mid x \in X} )）；
• 存在集合 ( C ) 和函数 ( f: A \to C )、( g: B \to C )，使得 ( R = {(a, b) \in A \times B \mid f(a) = g(b)} )。

简单说就是，( X ) 必须恰好是 ( A ) 和 ( B ) 中满足某个“相等规则”的元素对集合，这个规则由两个到公共集合的函数定义。

阿贝尔范畴（Abelian Categories） #

在阿贝尔范畴里，条件变得极其简洁：
( p ) 和 ( q ) 是某对态射的拉回当且仅当它们是联合单态。

这是因为阿贝尔范畴里，联合单态等价于态射 ( (p, -q): X \to A \oplus B ) 是单态，而每个单态都是某个态射的核——取 ( C ) 为 ( (p, -q) ) 的余核，态射 ( (f, g): A \oplus B \to C ) 为余核态射，那么 ( X ) 就是 ( f ) 和 ( g ) 的拉回（此时序列 ( X \xrightarrow{(p, -q)} A \oplus B \xrightarrow{(f, g)} C ) 正合）。

拓扑范畴（Top） #

在拓扑空间范畴里，除了满足集合范畴的条件外，还要加拓扑限制：

• ( X ) 作为 ( A \times B ) 的子空间，其拓扑必须是 ( A \times B ) 子空间拓扑的限制，且这个子空间恰好是 ( A \times B ) 中满足 ( f(a) = g(b) ) 的元素构成的集合（这里 ( f, g ) 是连续映射）。

换句话说，( X ) 的拓扑要能让它成为两个连续映射的“等化子对”对应的纤维积空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Francisco