求解类几何级数形式的求和问题

嘿，这个问题其实本质上就是几何级数，只是你可能没立刻对应上标准公式，我来一步步拆解给你看：

1. 精确求和公式 #

首先设 $r = 1 - \frac{1}{\ln x}$，这里要注意前提：$x > 0$ 且 $x \neq 1$（当 $x=1$ 时 $\ln x=0$，原式分母为0，无定义），同时 $y$ 是大于1的正整数。

根据几何级数的核心求和公式：
$$\sum_{k=1}^y r^k = r \cdot \frac{1 - r^y}{1 - r}$$

把 $r = 1 - \frac{1}{\ln x}$ 代入，先计算 $1 - r$：
$$1 - r = 1 - \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right) = \frac{1}{\ln x}$$

将 $r$ 和 $1-r$ 代入公式后化简：
$$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^y \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^k &= \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right) \cdot \frac{1 - \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^y}{\frac{1}{\ln x}} \
&= (\ln x - 1) \cdot \left[1 - \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^y\right]
\end{align*}
$$

这个就是该求和式的精确闭形式解，你也可以展开写成：
$$(\ln x - 1) - (\ln x - 1)\left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^y$$

2. 关于 $x \to \infty$ 时的渐近行为分析 #

你提到的“求和不是 $(y^2+y)/2$”以及“是 $o(\ln x)$”的结论完全正确，这里帮你理清原因：

• 当 $x \to \infty$ 时，$\ln x \to \infty$，$\frac{1}{\ln x} \to 0$，此时每个求和项 $\left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^k$ 确实趋近于1，但注意 $y$ 是固定的正整数，所以总和是 $y$ 个趋近于1的项相加，最终趋向常数 $y$，而不是像 $1+2+\dots+y$ 那样的平方级结果（你可能混淆了“项趋近于1”和“项本身是k”的情况）。
• 用泰勒展开更细致分析的话，$\left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^y \sim e^{-y/\ln x} = 1 - \frac{y}{\ln x} + o\left(\frac{1}{\ln x}\right)$，代入精确解后可得：
  $$\sum_{k=1}^y \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^k = y - \frac{y(y+1)}{2\ln x} + o\left(\frac{1}{\ln x}\right)$$
  显然这个表达式当 $x \to \infty$ 时趋向常数 $y$，增长速度远慢于 $\ln x$，因此确实是 $o(\ln x)$。

特殊情况补充 #

• 当 $x=e$ 时，$\ln x=1$，此时 $r=0$，求和式的每一项都是0，总和为0，代入精确公式也能得到这个结果；
• 当 $x=1$ 时，$\ln x=0$，原式无定义，符合题目中 $x>0$ 的隐含限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1089309