谐波相关复指数线性组合的基波周期计算及特定条件下基波周期的证明问询

我最近在研究信号周期相关的问题，遇到了一个卡壳的点，想请教大家：给定实数$a_k$（其中$k\in{1,\ldots,N}$），当$a_1\neq0$时，怎么证明信号$x_N(t)=\sum_{k=1}^{N}a_k e^{j\omega_0 k t}$的基波周期（也就是满足$x(t)=x(t+T)$的最小正实数$T>0$）是$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$？

我之前找过类似问题的答案，但那些答案只说明了$T$是该信号的一个周期，完全没涉及基波周期的证明，对我没什么帮助。

补充背景（Edit 1） #

这个问题来自我读Alan V. Oppenheim、Alan S. Willsky和S. Hamid合著的《Signals and Systems》（Prentice Hall, 1996版）时的疑问，书中186-187页提到：

"A linear combination of harmonically related complex exponentials of the form
$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k e^{{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}}{+\infty}a_k e^{jk(2\pi/T)t}$$
is also periodic with period $T$."

我能轻松验证$T$确实是$x(t)$的一个周期，直觉上也觉得$T$应该就是基波周期，但就是没法把证明过程完整梳理出来。目前我自己摸索出了一个接近证明的思路，不过还没走完：

我只聚焦于证明当$a_1\neq0$时，$x_N(t)$的基波周期是$T$这个子问题：
假设$\tau>0$是$x_N(t)$的一个周期，我的目标是证明满足$x_N(t)=x_N(t+\tau)$对所有$t\in\mathbb{R}$成立的最小$\tau$就是$T$。

因为$x_N(t)$是光滑信号（任意阶连续可导），所以它的各阶导数也满足周期性质：
$$\begin{gather*}
x_N(t) =x_N(t+\tau)\
x_N'(t) =x_N'(t+\tau)\
\vdots\
x_N^{{(N-1)}(t)=x_N}{(N-1)}(t+\tau)
\end{gather*}$$
特别地，在$t=0$处也满足：
$$\begin{gather*}
x_N(0) =x_N(\tau)\
x_N'(0) =x_N'(\tau)\
\vdots\
x_N^{{(N-1)}(0)=x_N}{(N-1)}(\tau)
\end{gather*}$$

又因为$x_N^{{(n)}(t)=\sum_{k=1}}{N}a_k(jk\omega_0)^ne{j\omega_0kt}$，代入上面的等式后可以推导出：
$$\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1\
j\omega_0 & 2j\omega_0 & \ldots & Nj\omega_0\
(j\omega_0)^2 & (2j\omega_0)^2 & \ldots & (Nj\omega_0)^2\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
(j\omega_0)^{N-1} & (2j\omega_0)^{N-1} & \ldots & (Nj\omega_0)^{N-1}
\end{bmatrix}}_{M}\begin{bmatrix}
(1-e^{j\omega_0\tau})a_1\
(1-e^{2j\omega_0\tau})a_2\
\vdots\
(1-e^{Nj\omega_0\tau})a_N
\end{bmatrix}=0.$$

如果能证明矩阵$M$是非奇异的，那就能得到我想要的结论，但我不知道怎么证明$M$的非奇异性。而且我总觉得应该有更直接、更浅显的证明方法，不用绕到矩阵这里。

后续探索（Edit 2） #

后来我尝试对矩阵$M$做分解，得到了这样的结果：
$$M=\text{diag}([1\ j\omega_0\ \ldots\ (j\omega_0)^{N-1}]\top)\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1\
1 & 2 & \ldots & N\
1 & 2^2 & \ldots & N^2\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
1 & 2^{N-1} & \ldots & N^{N-1}
\end{bmatrix}}_{S}$$
其中$\text{diag}(v)$是$N\times N$对角矩阵，对角线元素是向量$v\in\mathbb{R}^N$的元素，其余元素为0。很明显当$\omega_0=0$时，$M$是奇异的，此时$x_N$没有基波周期；而当$\omega_0\neq0$时，$M$非奇异等价于$S$非奇异。

我通过数值计算发现，$S$可以分解为LDU形式（我验证了$N$从1到11的情况都成立）：

• $L$是下三角矩阵，元素$\ell_{mn}$是第二类斯特林数$S(m,n)$
• $D$是对角矩阵，对角线元素$d_{nn}$是Pochhammer符号$\text{Pochhammer}(1,m-1)$（对应每个$1\leq n\leq N$）
• $U$是上三角矩阵，元素$u_{mn}=\Gamma(m,n-m+1)/\Gamma(m,1)$，其中$\Gamma(m,k)=\prod_{i=1}^{m-1}(k+i-1)$

举个$N=4$的例子：
$$\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\
1 & 2 & 3 & 4\
1 & 4 & 9 & 16\
1 & 8 & 27 & 64
\end{bmatrix}}{S}=\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\
1 & 1 & 0 & 0\
1 & 3 & 1 & 0\
1 & 7 & 6 & 1
\end{bmatrix}}{L}\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\
0 & 1 & 0 & 0\
0 & 0 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 6
\end{bmatrix}}{D}\underbrace{\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\
0 & 1 & 2 & 3\
0 & 0 & 1 & 3\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}}{U}$$

虽然这个分解的猜想在数值上成立，但我还是有两个疑问：

1. 为什么矩阵$S$会有这种特殊的LDU分解？
2. 有没有更简单的方法来证明原问题中$T$是基波周期？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KleinFlasche