请求验证并补充从S₃到ℤ₂₄的homomorphisms求解过程

没问题，我来帮你验证已有的思路并补全最后一部分的推导，还会帮你理清容易混淆的点！

一、先验证你已完成的部分 #

你的基础思路完全正确：

• 你找出的S₃的所有正规子群是对的：{e}、S₃本身，以及三阶循环子群A₃={e, (123), (132)}——这确实是S₃仅有的三个正规子群。
• 当核为S₃时，确实只有平凡同态：把S₃中所有元素都映射到ℤ₂₄的0元，这部分推导没问题。
• 当核为A₃时，你的逻辑也正确：S₃/A₃是2阶群（同构于ℤ₂），而从ℤ₂到ℤ₂₄的同态有且仅有2个——一个是把ℤ₂的生成元映射到0（对应平凡同态），另一个是映射到12（因为2×12=24≡0 mod24，满足同态的阶数要求）。通过自然投影和这两个同态的复合，就能得到对应的S₃→ℤ₂₄的同态。

二、补全核为{e}的情况：不存在这样的同态 #

你提到当核为{e}时，像集是ℤ₂₄的6阶子群H={0,4,8,12,16,20}，这一步是对的，但这里有个关键的隐藏条件你没注意到：
ℤ₂₄是交换群，所以任何从S₃到ℤ₂₄的同态，其像集必须是ℤ₂₄的交换子群。但S₃是非交换群，如果核为{e}，那么同态是单同态，像集会和S₃同构——但S₃是非交换的，不可能是交换群ℤ₂₄的子群（ℤ₂₄的所有子群都是循环群，必然交换）。

更直接的依据是：非交换群到交换群的同态，其核必须包含该非交换群的换位子群（即所有换位子aba⁻¹b⁻¹生成的子群）。S₃的换位子群恰好就是A₃，所以任何S₃→ℤ₂₄的同态，核至少要包含A₃，不可能是{e}。因此，核为{e}的情况没有对应的同态。

三、总结所有从S₃到ℤ₂₄的同态 #

最终，我们只有两个不同的同态：

1. 平凡同态：对所有g∈S₃，φ(g)=0∈ℤ₂₄（核为S₃）。
2. 非平凡同态：对g∈A₃，φ(g)=0；对g∉A₃（即所有对换(12),(13),(23)），φ(g)=12∈ℤ₂₄（核为A₃）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者romperextremeabuser