多元函数在原点处不连续性的证明问题

嘿，我看了你遇到的困惑——用提示里的序列$(\frac{1}{n},\frac{1}{n^3})$算出来函数值趋近于0，和$f(0,0)$相等，确实没法证明不连续。其实这里可能是提示给错了，或者你是不是看错了函数表达式？

先帮你理清楚：对于你给出的函数
f(x,y)= \frac{x^2y}{\sqrt{x^6+2y^2}}（当$(x,y)\neq(0,0)$时），f(0,0)=0，这个函数实际上在原点是连续的。

我们可以用两种方法验证：

• 极坐标替换法：设$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$（$r\to0^+$），代入函数得：

  f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\sqrt{r^6 \cos^6\theta + 2r^2 \sin^2\theta}} = \frac{r^2 \cos^2\theta \sin\theta}{\sqrt{r^4 \cos^6\theta + 2 \sin^2\theta}}
  

  当$r\to0$时，分母趋近于$\sqrt{2\sin^{2\theta}$（$\sin\theta\neq0$时），分子是$r}2$乘以有界量，整体极限为0；当$\sin\theta=0$时，函数值本身就是0，所以不管从哪个方向趋近原点，极限都是0，等于$f(0,0)$，满足连续的定义。
• ε-δ语言：对于任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\sqrt{\varepsilon\sqrt{2}}$，当$\sqrt{x^2+y2}<\delta$时，|f(x,y)| = \frac{|x^2y|}{\sqrt{x^6+2y^2}} ≤ \frac{|x^2y|}{\sqrt{2y^2}} = \frac{x^2}{\sqrt{2}} ≤ \frac{x^2+y^2}{\sqrt{2}} < \frac{\delta^2}{\sqrt{2}} = \varepsilon，完全满足连续的条件。

如果题目确实要求证明不连续，那大概率是函数表达式写错了——比如可能是f(x,y)= \frac{x^2y}{x^6+2y^2}（去掉分母的根号），这时候取序列$(\frac{1}{n},\frac{1}{n^3})$，函数值为\frac{1/n^5}{1/n^6 + 2/n^6} = \frac{n}{3}，当$n\to\infty$时趋近于∞，不等于$f(0,0)=0$，就能证明不连续了。

你可以再核对一下原题的函数表达式哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User2018