关于将收敛级数部分项替换为0所得新级数的收敛性疑问

嘿，你的判断完全正确！咱们来拆解一下背后的逻辑，让这个结论更扎实：

• 先回顾收敛级数的核心定义：如果级数 $\sum_{n=1}^\infty t_n$ 收敛，说明它的部分和序列 ${T_N}$（$T_N = \sum_{n=1}^N t_n$）会趋近于某个有限的极限值。
• 你构造的新级数 $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$，本质是原级数的“筛选版”：每个 $u_n$ 要么是原项 $t_n$，要么是0，相当于在原累加过程中跳过了某些项。
• 用柯西准则严谨验证：
  • 因为原级数收敛，所以对任意小正数 $\epsilon$，总能找到足够大的 $N$，当 $m > n > N$ 时，$|\sum_{k=n+1}^m t_k| < \epsilon$；
  • 新级数的对应片段 $\sum_{k=n+1}^m u_k$ 只是把原片段的部分项换成0，因此 $|\sum_{k=n+1}^m u_k| \leq |\sum_{k=n+1}^m t_k| < \epsilon$，完全满足柯西收敛条件。

你提到的两个观察也都切中要点：

• 每个 $u_n$ 要么是趋近于0的 $t_n$（原级数收敛的必要条件就是 $t_n \to 0$），要么是0，所以 $u_n \to 0$，满足级数收敛的必要条件；
• 把新级数里的0换回原项就得到收敛的原级数，反过来想，从收敛级数中去掉任意多项（换成0），新级数自然不会发散——类似收敛数列的子序列也收敛的性质。

总结一下：你的结论没问题，这个构造出来的新级数一定是收敛的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gerfa trav