关于Rudin《泛函分析》定理1.35中Minkowski泛函相关结论的疑问

给定向量空间$X$的子集$A$，我们先明确几个基础定义：

• 凸集：若对任意$t\in[0,1]$以及任意$x,y\in A$，都有$ty+(1-t)x\in A$，则称$A$是凸的。
• 吸收集：若对任意$x\in X$，存在$t>0$使得$\frac{x}{t}\in A$，则称$A$是吸收的。
• Minkowski泛函：$A$的Minkowski泛函记为$m_A$，定义为：
  $$m_A(x):=\inf\left{t>0\mid \frac{x}{t}\in A\right}$$

我们需要证明的是：当$A$是凸且吸收的集合时，$m_A$满足三角不等式。常规的证明思路如下：

任取$\epsilon>0$，存在$s,t>0$使得$\frac{x}{s}\in A$、$\frac{y}{t}\in A$，且$s<m_A(x)+\epsilon/2$，$t<m_A(y)+\epsilon/2$。利用$A$的凸性，可得$\frac{x+y}{s+t}\in A$，因此$m_A(x+y)\le s+t < m_A(x)+m_A(y)+\epsilon$。由$\epsilon$的任意性，三角不等式得证。

而Rudin在《泛函分析》里的证明思路是这样的：

取$\epsilon>0$，令$t=m_A(x)+\epsilon$，$s=m_A(y)+\epsilon$，则$\frac{x}{t}\in A$且$\frac{y}{s}\in A$，后续的推导和上面的思路完全一致。

这里我产生了一个疑问：Rudin的证明似乎默认了一个结论——对任意$t>m_A(x)$，都有$\frac{x}{t}\in A$，这个结论真的成立吗？如果它是对的，该怎么证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Koro