子群无限并集的渐近密度

嘿，咱们来拆解这个关于整数子群并集自然密度的问题：

给定严格递增的整数序列 (1 < a_1 < a_2 < a_3 < \dots)，对于整数子集 (A \subset \mathbb{Z})，用 (d(A)) 表示它的自然密度（如果存在的话）。我们要问：下面这个等式是否一定成立？

$$\lim_{N \to +\infty} d\left( \bigcup_{i \leq N} a_i \mathbb{Z} \right) = d\left( \bigcup_{i = 1}^{\infty} a_i \mathbb{Z} \right)$$

首先得说，有限个 (a_i\mathbb{Z})（这些都是整数加法群的子群）的并集密度，确实可以用容斥原理精准计算：把每个子群的密度加起来，减去两两交集的密度，再加回三三交集的密度，以此类推。但一旦扩展到无限并集，这个极限和无限并的密度之间的关系就没那么理所当然了——甚至可以找到明确的反例证明等式不成立。

举个简单的反例：取序列 (a_i = i!)（阶乘序列）。

• 对于任意有限的N，(\bigcup_{i=1}^N i!\mathbb{Z}) 其实就是 (N!\mathbb{Z})（因为所有i≤N时，i!都是N!的因数，所以更小的阶乘的倍数集合都包含在N!的倍数集合里）。它的自然密度是 (1/N!)，当N趋向无穷大时，这个极限显然是0。
• 而无限并集 (\bigcup_{i=1}^\infty i!\mathbb{Z}) 包含了所有能被某个阶乘整除的整数。除了±1之外，所有整数都能被某个阶乘整除（比如任意整数k≠±1，取i≥|k|，则i!是k的倍数）。由于±1在整数集中的自然密度是0，所以这个无限并集的自然密度是1。

显然这里左边的极限（0）和右边的无限并密度（1）不相等，直接推翻了原命题。

所以结论是：这个等式不一定成立，存在反例说明极限和无限并的密度可以不一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alphonse